ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจำวัน จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคอื่นๆ ด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำว่า “ไม่” คำเหล่านี้เรียกว่าตัวเชื่อม (connectives) เช่น

2 และ 4 เป็นจำนวนคู่

ถ้า 3 เป็นจำนวนคี่ แล้ว  เป็นจำนวนคี่

รูปสามเหลี่ยม ABC จะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านยาวเท่ากันทุกด้าน

เพื่อความสะดวกในการศึกษาเกี่ยวกับการเชื่อประพจน์ จะใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น p, q, r, s, …  แทนประพจน์ที่นำมาเชื่อมกัน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมย่อมขึ้นอยู่กับจำนวนประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันซึ่งสามารถพิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยใช้ T แทนจริง และ F แทนเท็จ ได้ดังนี้

ถ้ามีประพจน์เดียวกัน คือ p จะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่เกิดขึ้นได้ 2 กรณี คือ T หรือ F

(1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”

     พิจารณาประพจน์ 1+2 = 2+1

3 x 2 = 2×3

เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “และ” จะได้ประพจน์ใหม่ คือ

1+2 = 2+1  และ  3×2 = 2×3

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “และ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่ที่เป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อม p กับ q  ด้วย “และ” คือ “p และ q “ เขียนแทนด้วย p ∧ q และตารางค่าความจริง (truth table) ของ p ∧ q เขียนได้ดังต่อไปนี้

จากตารางค่าความจริงข้างต้น เมื่อต้องการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “และ” ก็เพียงแต่ใช้ความรู้คณิตศาสตร์ พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่นำมาเชื่อมว่าตรงกับกรณีใด เช่น

ต้องการหาค่าความจริงของ 3 Î {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจำนวนคี่

จะต้องพิจารณาค่าความจริงของ “3 Î {1, 3, 5, …}” และ “3 เป็นจำนวนคี่” ซึ่งเห็นได้ไม่ยากว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ ฉะนั้น ค่าความจริงของ 3 Î {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจำนวนคี่ คือ จริง

ในทำนองเดียวกัน ค่าความจริงของ   เป็นจำนวนจริง และ  เป็นจำนวนตรรกยะ คือ เท็จ เพราะประพจน์  เป็นจำนวนตรรกยะ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

(2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”

     พิจารณาประพจน์   1+5 = 5+1

4(2+3) = (4×2)+(4×3)

เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “หรือ” จะได้ประพจน์ใหม่คือ

1+5 = 5+1 หรือ 4(2+3) = (4×2)+(4×3)

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “หรือ” คือ “p หรือ q” เขียนแทนด้วย pVq และตารางค่าความจริงของ pVq เขียนได้ดังนี้

1) “  เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ  เป็นจำนวนเต็ม” มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะ   เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะและไม่ใช่จำนวนเต็มจากตารางสรุปได้ว่า

2) “2 เป็นจำนวนคู่ หรือ  เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะค่าความจริงของ “2 เป็นจำนวนคู่” คือ จริง

หมายเหตุ ความหมายของคำว่า “หรือ” ที่ใช้โดยทั่วไปมีสองกรณี

                    กรณีที่ 1 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญต่ละครั้งเหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว

                    กรณีที่ 2 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นักเรียนที่ได้รับรางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียงอย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียวแต่บางคนอาจมีคุณสมบัติทั้งสองประการก็ได้

ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรือ” หมายถึงกรณีที่ 2 เว้นแต่ว่าจะรพบุไว้อย่างชัดเจนให้หมายถึงกรณีที่

 

(3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”      

พิจารณาประพจน์ 2+3 = 3+2

6(2+3) = 6(3+2)

เมื่อเชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว…” ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้น คือ

ถ้า 2+3 = 3+2 แล้ว 6(2+3) = 6(3+2)

ประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า ถ้า เรียกว่า เหตุ ส่วนประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า แล้ว เรียกว่า ผล

ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า…แล้ว…” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว…” คือ “ถ้า p แล้ว q “ เขียนแทนด้วย p→q และตารางค่าความจริงของ p→q  เขียนได้ดังนี้

1) ประพจน์ “ถ้า 0 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว 0 เป็นจำนวนเต็มลบ” มีค่าความจริงเป็นเท็จเพราะบางประพจน์ “0 เป็นจำนวนเต็ม” และ “0 เป็นจำนวนเต็มลบ” มีค่าความจริงเป็นจริง และเท็จตามลำดับจากตารางและความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ จะพบว่า

2) ประพจน์ “ถ้า 5 เป็นจำนวนคี่ แล้ว  เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริงเพราะประพจน์ “5 เป็นจำนวนคี่” และ “ เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่

(4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงด้วยกันทั้งคู่หรือเท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นเท็จเสมอ

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” คือ “p ก็ต่อเมื่อ q” เขียนแทนด้วย p↔ q และตารางค่าความจริงของ p↔q เขียนได้ดังนี้

1) ประพจน์ “7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 เป็นจำนวนคู่” มีค่าความจริงเป็นจริงเพราะทั้งประพจน์ “7 เป็นจำนวนคู่” มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่  จากตารางหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมก็ต่อเมื่อได้ดังตัวอย่าง

2) ประพจน์ “ =   ก็ต่อเมื่อ 2 = -2 “ มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะประพจน์ “2 < 3” และ “ > ” มีค่าความจริงเป็นจริง แต่ประพจน์ “2 = -2 “ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

3) ประพจน์ “ 2 < 3 ก็ต่อเมื่อ“ > ” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะประพจน์ “ 2 < 3 ก็ต่อเมื่อ“ > ” มีค่าความเป็นจริงทั้งคู่

หมายเหตุ        ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบทนิยามต่างๆ ถ้านำมาเขียนเป็นประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมีความหมายเดียวกับการใช้ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”

(5) นิเสธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~p และตารางค่าความจริงของ ~p เขียนได้ดังนี้

p	~p
T	F
F	T

การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์เดิมทำได้ง่ายที่สุด เพราะค่าความจริงของนิเสธจะเป็นค่าตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์เดิมเสมอ