วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k)
โจทย์วงกลม
EX1. จงเขียนรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว3หน่วย
และจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ (2, -1)
วิธีทำ จากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม (x – h)2 + (y – k)2 = r2
แทน r, h และ kด้วย 3, 2 และ -1ตามลำดับ
(x – 2)2 + (y – (-1))2 = 32
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาวr หน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0)
คือ x2 + y2 = r2
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมียาว1หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle)
และมีสมการเป็น x2 + y2 = 1
จากสมการของวงกลม(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
เมื่อหาผลการยกกำลังสองของ x – 2และ y + 1จะได้
x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 9
x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
EX2.จงเขียนรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย และจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ (2, -1)
วิธีทำ จากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม (x – h)2 + (y – k)2 = r2
แทน r, h และ k ด้วย 3, 2 และ -1 ตามลำดับ
(x – 2)2 + (y – (-1))2 = 32
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) คือ x2 + y2 = r2
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมียาว 1 หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) และมีสมการเป็น x2 + y2 = 1 ดังแสดงในรูป
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
เมื่อหาผลการยกกำลังสองของ x – 2 และ y + 1 จะได้
x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 9 หรือ x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของสมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการในรูปแบบ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม หรือจุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ
ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x2 + y2 = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0) สมการ x2 + y2 + 5 = 0 หรือ x2 + y2 = -5 ไม่มีกราฟ เพราะว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนจริงเป็นจำนวนลบไม่ได้ ในกรณีที่สมการ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม เรียกสมการนี้ว่า รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม
ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
