ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)-ประวัติจำนวนเชิงซ้อน คณิตศาสตรออนไลน์ ม.5

โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (เยอรมัน: Johann Carl Friedrich Gauß)  นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เกิดเมื่อวันที่ 30 เมษายน พ.ศ. 2302 (ค.ศ. 1777) เสียชีวิต 23 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2398 (ค.ศ. 1855) เป็นหนึ่งในตำนานนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ (นักคณิตศาสตร์บางท่านกล่าวว่าสี่ผู้ยิ่งใหญ่ของวงการคณิตศาสตร์มี อาร์คิมิดีส นิวตัน เกาส์ และออยเลอร์) ได้รับฉายาว่า “เจ้าชายแห่งคณิตศาสตร์” (Prince of Mathematics) เนื่องจากอุทิศผลงานในทุก ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ในยุคสมัยของเขา นอกจากนี้เกาส์ยังมีผลงานสำคัญทางด้านฟิสิกส์ โดยเฉพาะด้านดาราศาสตร์อีกด้วย

นิยามของจำนวนเชิงซ้อนเเละการสร้างจำนวนเชิงซ้อน
ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a เเละ b นั้นเป็นจำนวนจริง เเละกำหนดการเท่ากัน การบวกเเละการคูณของจำนวนเชิงซ้อน โดยเราจะกล่าวได้ว่า

การเท่ากันนั้น (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c เเละ b = d
การบวก (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)
การคูณ (a , b) · (c , d) = (ac – bd , ad – bc)
โดยที่ได้มานั้น จะได้ เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเเทนด้วยสัญลักษณ์ว่า “C”
ดังนั้นหากเปรียบเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน เราก็จะได้ว่า
z = (a , b)

โดย ค่าของ a นั้นเป็นส่วนจริง เราเรียกว่า ส่วนจริงของ z ซึ่งเขียนเเทนด้วย Re(z)
เเละค่าของ b นั้นเป็นส่วนจินตภาพ เราเรียกหว่า ส่วนจินตภาพของ z ซึ่งเขียนเเทนด้วย Im(z)
โดยที่กล่าวมานั้น เรียกว่ จำนวนจินตภาพเเท้
โดยมีข้อพิสูจน์ว่า ค่าจินตภาพนั้นจะไม่เท่ากับ 0 เราจึงกล่าวได้ว่า เมื่อกำหนดให้ (0,1)(0,1) = (-1,0)
นั้นหมายความว่าถ้าเราเเทนค่า (0,1) ด้วย i เราจะกล่าวได้ว่า ทุกๆ 2 ตัวของ i คูณกัน จะได้ -1 เเละทุกๆ 4 ตัวของ i คูณกัน จะได้ 1

ซึ่งเราสามารถเขียนอีกฟอร์มหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่า
z = (a , b) = a + bi
ซึ่งกรณีนี้ทำให้เราได้ผลการบวกเเละผลการคูณใหม่ว่า
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i

ตัวอย่างของการสร้างจำนวนเชิงซ้อน

จงหาผลคูณของ 1 + i , 3 + i เเละ –1 + 2i
วิธีทำ (1 + i)(3 + i)(-1 + 2i) = [(1 + i)(3 + i)](-1 + 2i)
= [ (3 – 1) + (1 + 3)i ] (-1 + 2i)
= (2 + 4i)(-1 + 2i)
= (-2 – 8) + (4 – 4)i
= – 10

ดังนั้น
คำตอบของข้อนี้คือ – 10

จงหาจำนวนจริงของ a , b ที่ทำให้ (a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i
วิธีทำ (a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i

(a – 2) + (3 + 3b)i = 4 + 9i
จับเเยกหาค่าของ a
a – 2 = 4 ; a = 6
จับเเยกหาค่าของ b
3 + 3b = 9 ; b = 2

ดังนั้น
คำตอบของข้อนี้คือ a = 6 เเละ b = 2
สมบัติของการบวกเเละการคูณของจำนวนเชิงซ้อน
จากที่กล่าวมาสามารถเกิดสมบัติได้ดังต่อไปนี้
กำหนดให้ z1 / z2 / z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนเเล้วจะได้ว่า
สมบัติปิด : z1 + z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนเเละ z1z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติการสลับที่ : z1 + z2 = z2 + z1 เเละ z1z2 = z2z1
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ : z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 เเละ z1(z2z3) = (z1z2)z3
สมบัติการเเจกเเจง : z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3

ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบจำนวนจริงยังไม่สามารถตอบคำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม
x2+1=0x2+1=0
x2=−1×2=−1
ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง
ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้
สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำนวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกันเลยคับ
นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้
กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ
1)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d
2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(4,3) และ z2=(2,5)z1=(4,3) และ z2=(2,5) จงหา z1+z2,z1⋅z2z1+z2,z1⋅z2

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคะ
z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)
z1⋅z2=(4,3)⋅(2,5)=((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))=(−7,26)z1⋅z2=(4,3)⋅(2,5)=((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))=(−7,26)

นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคะ

ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)
ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(2,−4) จงหาz1=(2,−4) จงหา Re(z1)Re(z1) และ Im(z1)Im(z1)

วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ
Re(z1)=2Re(z1)=2
Im(z1)=−4

จำนวนเชิงซ้อน
ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

ตัวอย่าง
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x^2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x^2= -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x^2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i

จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)