การดำเนินการของเซตและสมบัติการดำเนินการบนเซตที่ควรจำ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

การดำเนินการของเซตและสมบัติการดำเนินการบนเซต

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการที่สำคัญของเซตที่จำเป็นต้องรู้และทำความเข้าใจให้ถ่องแท้มี 4 ชนิด ได้แก่

1. การยูเนียนของเซต

2. การอินเตอร์เซคชั่นของเซต

3. คอมพลีเม้นท์ของเซต

4. ผลต่างของเซต

1 การยูเนียนของเซต ใช้สัญลักษณ์ “∪ ”

บทนิยาม A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } เรียกว่า ผลบวก หรือผลรวม (union)

ของ A และ B

ตัวอย่าง 1. ถ้า A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได้ A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตัวอย่าง 2. ถ้า M = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได้ M ∪ L = M

ตัวอย่าง 3. ถ้า W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได้ W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตัวอย่าง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5}

จะได้ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

2 การอินเตอร์เซคชัน ใช้สัญลักษณ์ “∩ ”

บทนิยาม A ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } เรียกว่า ผลตัด หรือผลที่เหมือนกัน

(intersection) ของ A และ B

ตัวอย่าง 1. ถ้า A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได้ A ∩ B = {1 , 3}

ตัวอย่าง 2. ถ้า M = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได้ M ∩ L = L

3 คอมพลีเม้นต์ของเซต ใช้สัญลักษณ์ “ / ”

บทนิยาม ถ้า U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิก

ที่อยู่ใน ∪ แต่ไม่อยู่ใน A เขียน A′ แทนคอมพลีเม้นท์ของ A

ดังนั้น A′ = { x | x ∉ A }

ตัวอย่าง 1. ถ้า U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2}

จะได้ = {1, 3,4, 5}

ตัวอย่าง 2. ถ้า U = {1, 2, 3, … } และ C = { x|x เป็นจำนวนคู่}

จะได้ = { x |x U และ x เป็นจำนวนคี่ }

4 ผลต่างของเซต ใช้สัญลักษณ์ “ – ”

บทนิยาม ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A ซึ่ง

ไม่เป็นสมาชิกของเซต B ผลต่างระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A – B ซึ่ง A – B = { x | x ∈ A∧ x ∉ B }

ตัวอย่าง 1. ถ้า A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}

จะได้ A – B = {0, 1, 2} และ B – A = {5 , 6 , 7}

ตัวอย่าง 2. ถ้า U = {1, 2, 3, … } และ C = { x|x เป็นจำนวนคู่บวก}

จะได้ U – C = {x|x เป็นจำนวนคี่บวก}

สมบัติการดำเนินการบนเซต

สมบัติพื้นฐาน

1. A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A

2. A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. (A’)’ = A
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

5. A – B = A ∩ B’

เพิ่มเติม
ถ้า A ⊂ B เเล้ว 1. A – B = ∅
2. A ∩ B = A
3. A ∪ B = B

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
1. เซตจำกัด 2 เซต
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n[(A – B) ∪ (B – A)] = n(A) + n(B) – 2[n(A ∩ B)]

2. เซตจำกัด 3 เซต
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C)
+ n(A ∩ B ∩ C)

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}

วิธีทำ สับเซตของ A คือ ∅, {1}, {2}, A

ดังนั้น P(A) = { ∅, {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

1. ∅ ∈ P(A) เพราะ ∅ ⊂ A เสมอ

2. ∅ ⊂ P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน

3. A ∈ P(A) เพราะ A ⊂ A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

5. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)

6. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)

7. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)

สรุป สมบัติของเซตที่ควรจำ

ให้ A,B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้เป็นจริง

1) กฎการสลับที่

A∪ B = B ∪ A

A∩ B = B ∩ A

2) กฎการเปลี่ยนกลุ่ม

A∪(B ∪C) = (A∪ B)∪C

A∩(B ∩C) = (A∩ B)∩C

3) กฎการแจงแจง

A∪(B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)

A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

4) กฎเอกลักษณ์

φ ∪ A = A∪φ = A

U ∩ A = A∩U = A

5) A∪ A′ =U

6) φ ′ =U และ U′ =φ

7) (A′)′ = A

8) A∪ A = A และ A∩ A = A

9) A − B = A∩ B′

10) A∩φ =φ และ A∪φ = A