บทสรุป ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ม.4
นิยาม : ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
โดยที่ n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวน q ที่ทำให้ m = nq
เรียก n ว่าเป็น ตัวหาร ของ m และ
เรียก m ว่าเป็นพหุคูณ ของ n
จากนิยามดังกล่าว มีการใช้สัญลักษณ์ ดังนี้
n|m แทน n หาร m ลงตัว หรือ m หารด้วย n ลงตัว
n|/m แทน n หาร m ไม่ลงตัว หรือ m หารด้วย n ไม่ลงตัว
การหารลงตัว
a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b ลงตัว”
b/a= c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม
• การหารลงตัว
บทนิยาม
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยาม
จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยาม
จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
หารร่วมมาก
บทนิยาม : กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจำนวนใดจำนวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์)
แล้ว จะกล่าวว่า d ϵ I+ เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจำนวนเต็ม a,b ก็ต่อเมื่อ d เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ d|a และ d|b
หมายเหตุ
- ห.ร.ม. เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
- ใช้สัญลักษณ์ d = (a,b) เพื่อแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม.ของ a และ b
- (a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a.-b) นั่นคือไม่ว่าเราจะหา ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- ถ้า a ไม่เป็นศูนย์แล้ว (a,0) = |a| นั่นคือ ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ก็คือตัวมันเองที่เป็นบวกนั่นเอง
การหา ห.ร.ม. แบบยูคลิด โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหาร
- นำจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาคำนวณผลการและเศษเหลือจากการหาร โดยให้จำนวนมากกว่าเป็นตัวตั้งจำนวนน้อยกว่าเป็นตัวหาร ในกรณีที่จำนวนที่สนใจเป็นจำนวนเต็มลบสามารถใช้สมบัติของ ห.ร.ม. ที่กล่าวว่าห.ร.ม.ของจำนวนเต็มลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- นำผลจากข้อ 1. มาคำนวณอีกครั้ง โดยให้ตัวหารจากข้อ 1 เป็นตัวตั้งและเศษเหลือเป็นตัวหารคำนวณหาผลหารและเศษเหลือตัวใหม่ออกมา
- ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารลงตัว
- ห.ร.ม. จะเท่ากับเศษเหลือตัวสุดท้ายที่เกิดขึ้น ซึ่งเหลืออยู่ก่อนบรรทัดสุดท้าย
ตัวคูณร่วมน้อย
นิยาม : ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a,b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก c ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ a|c และ b|c เรียกว่าเป็น ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. นั่นเอง
หมายเหตุ :
- ค.ร.น.เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
- ใช้สัญลักษณ์ [a,b] =C เพื่อแสดงว่า c เป็น ค.ร.น. ของ a และ b
- [a,b] = [a,-b]= [-a,b)= [-a,-b] นั่นคือไม่ว่าเรา
- จะหา ค.ร.น.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- [0,a]=0
สมบัติ
- [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
- ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n
ตัวหารร่วม
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
∴ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น “ตัวคูณร่วมน้อย” (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
วิธีทำ พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, …
∴พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, …
∴พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, …
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72
สมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ให้ a,b เป็นจำนวนเต็ม d= (a, b) , c = [a,b] จะได้ว่า dc = |ab|
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
คือจำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 ดังนั้น จำนวนเต็มสองจำนวนนั้นจะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
สมการไดโอแฟนไทน์
นิยาม : สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine Equation) คือ สมการที่มีตัวแปรที่เกี่ยวข้องมากกว่าหนึ่งตัว และมีผลเฉลยเป็นจํานวนเต็ม
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น (Linear Diophantine Equation) คือสมการไดโอแฟน ไทน์ที่อยู่ในรูป a1x1+a2x2+a3x3+… +anxn =b เป็นจำนวนเต็ม และ a1, a2, a3 ,…, an, b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์และเป็นตัวแปรซึ่งมีผลเฉลยเป็นจํานวนเต็ม
