การหารลงตัว และ สมบัติการหารลงตัว-ทฤษฎีจำนวน (Number Theory) คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

การหารลงตัว และ สมบัติการหารลงตัว

การหารลงตัว

บทนิยาม

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a

ตัวอย่างเช่น

3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n

-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n

6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

สมบัติการหารลงตัว

ทฤษฎีบทที่ 1

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c

ทฤษฎีบทที่ 2

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b

ทฤษฎีบทที่ 3

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

ตัวอย่างเช่น

จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

• ขั้นตอนวิธีการหาร

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r

เขียนให้อยู่ในรูป

a = bq + r

48 = 7 × 6 +6

∴

q = 6 และ r = 6

• ตัวหารร่วม

ตัวหารร่วม

กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

ตัวหารร่วมมาก

กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

ตัวอย่างเช่น

จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

วิธีทำ

ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

∴

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

∴

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12