สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S” บทนิยามถ้า S เป็นสับเซตของ R a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ 1. a เป็นขอบเขตบนของ S 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม
ถ้า S เป็นสับเซตของ R
S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S”
บทนิยาม
ถ้า S เป็นสับเซตของ R
a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
1. a เป็นขอบเขตบนของ S
2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
|
ตัวอย่าง |
ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6] |
|
|
จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6 |
| บทนิยาม | ถ้า S เป็นสับเซตของ R |
| S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a | |
| สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S” | |
| บทนิยาม | ถ้า S เป็นสับเซตของ R |
| a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ | |
| 1. a เป็นขอบเขตบนของ S | |
| 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b | |
| • สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด | |
| ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด | |
| ——————————————————————- | |
| ตัวอย่างที่ 1 | ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6] |
| จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6 | |
| ——————————————————————-
|
|
| ตัวอย่างที่ 2 | ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7) |
| จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7 | |
| ——————————————————————- | |
| ตัวอย่างที่ 3 | ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4} |
| จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5 | |
| ——————————————————————- | |
| ตัวอย่างที่ 4 | ให้ S = [-2, ∞] |
| จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน | |
| ——————————————————————- | |
| ตัวอย่างที่ 5 | ให้ S ≠ Ø |
| จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด | |
| บทนิยาม | ถ้า S เป็นสับเซตของ R |
| S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a | |
| สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S” | |
| บทนิยาม | ถ้า S เป็นสับเซตของ R |
| a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ | |
| 1. a เป็นขอบเขตบนของ S | |
| 2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b |
สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]
จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
