มาดูวิธีเปลี่ยนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วนแบบง่ายๆ

ทศนิยม

คือ จำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย . (จุดทศนิยม) วางอยู่ระหว่างจำนวนเต็ม เช่น 1.25, 0.347, 4.0, -3.64 เป็นต้น

ประเภทของทศนิยมมี 2 ประเภท คือ ทศนิยมซ้ำ กับ ทศนิยมไม่ซ้ำ (ในที่นี้จะกล่าวถึงแต่ทศนิยมซ้ำ)

ทศนิยมซ้ำแบ่งเป็น 2 แบบ ดังนี้

1. ทศนิยมซ้ำแบบรู้จบ คือ รู้แน่นอนว่าตัวไหนซ้ำและซ้ำกี่ตัว เช่น 2.1, 3.5, 5.75, 8.125 เป็นต้น

2. ทศนิยมซ้ำแบบไม่รู้จบ คือ รู้แน่นอนว่าตัวไหนซ้ำ แต่ไม่รู้ว่าซ้ำกี่ตัว เช่น 1.1212…, 0.345345…, 3.111…, 4.52121… เป็นต้น

ทศนิยมซำ้ คือ การหารเศษส่วนที่ไม่ลงตัวจะซ้ำกันไปเรื่อย ๆอาจจะซ้ำตำแหน่งเดียว สองตำแหน่งหรือสามตำแหน่ง

ซึ่งเราเรียก ทศนิยมนี้ว่า ทศนิยมซ้ำ

เช่น กรณีซ้ำ 1 หลัก $0.7 \dot{2} \dot{5}$

$0.7 \dot{2} \dot{5}$

กรณีซ้ำ 2 หลัก $0.7 \dot{2} \dot{5}$ $0.7 \dot{2} \dot{5}$

$0.7 \dot{2} \dot{5}$ $0.7 \dot{2} \dot{5}$

กรณีซ้ำ 3 หลัก $0.7 \dot{2} \dot{5}$ $0.7 \dot{2} \dot{5}$

$\begin{aligned} 0.5 & = \frac{5}{10} \\ 0.27 & = \frac{27}{100} \\ 0.391 & = \frac{391}{1,000} \end{aligned}$

ทศนิยมซํ้าที่ไม่ใช่ศูนย์ เราจะเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงเขียน $0. \dot{4} \dot{7}$ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทำ

ให้ $N = 0. \dot{4} \dot{7}$
ดังนั้น $\begin{matrix} (1) & N = 0.474747 \dots \end{matrix}$
คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ $(1)$ ด้วย $100$
$\begin{aligned} 100 N & = (0.474747 \dots) \times 100 \\ (2) & 100 N & = 47.474747 \dots \end{aligned}$
นำสมการ $(2)$ ลบด้วยสมการ $(1)$
$\begin{aligned} 100 N - N & = (47.474747 \dots) - (0.474747 \dots) \\ 99 N & = 47.000 \dots \\ N & = \frac{47}{99} \end{aligned}$

ตัวอย่าง จงเขียน $0.7 \dot{2} \dot{5}$ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทำ

ให้ $N = 0.7 \dot{2} \dot{5}$
ดังนั้น $\begin{matrix} (1) & N = 0.7252525 \dots \end{matrix}$
คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ $(1)$ ด้วย $1000$
$\begin{aligned} 1000 N & = (0.7252525 \dots) \times 1000 \\ (2) & 1000 N & = 725.252525 \dots \end{aligned}$
คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ $(1)$ ด้วย $10$
$\begin{aligned} 10 N & = 0.7252525 \dots \times 100 \\ (3) & 10 N & = 7.252525 \dots \end{aligned}$
นำสมการ $(2)$ ลบด้วยสมการ $(3)$
$\begin{aligned} 1000 N - 10 N & = (725.252525 \dots) - (7.252525 \dots) \\ 990 N & = 718.000 \dots \\ N & = \frac{718}{990} \\ = \frac{359}{495} \end{aligned}$

จากวิธีข้างต้น เราสามารถนำมาสรุปเป็นหลักการง่ายๆในการแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ด้งนี้

ถ้าเป็นทศนิยมที่ซ้ำทุกตำแหน่ง เช่น 0.8˙,0.2˙6˙,0.5˙18˙ เศษส่วนที่เป็นคำตอบจะมีตัวส่วนเป็นเลข 9 เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม และตัวเศษจะเป็นตัวเลขที่เป็นทศนิยม เช่น
- $0. \dot{8} = \frac{8}{9}$
- $0. \dot{2} \dot{6} = \frac{26}{99}$
- $0. \dot{5} 1 \dot{8} = \frac{518}{999}$
ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำไม่ทุกตำแหน่ง เช่น 0.56˙,0.07˙9˙,0.103˙,0.4445˙ เศษส่วนที่เป็นคำตอบจะมีตัวส่วนเป็นเลข 9 เท่ากับตำแหน่งของการซ้ำของทศนิยม แล้วตามด้วย 0 เท่ากับจำนวนของตัวเลขไม่ซ้ำ และตัวเศษเท่ากับจำนวนหลังจุดทศนิยมลบด้วยจำนวนที่ไม่ซํ้า เช่น
- $0.5 \dot{6} = \frac{56 - 5}{90}$
- $0.0 \dot{7} \dot{9} = \frac{79 - 0}{990} = \frac{79}{990}$
- $0.10 \dot{3} = \frac{103 - 10}{900} = \frac{93}{900}$
- $0.444 \dot{5} = \frac{4445 - 444}{9000} = \frac{4001}{9000}$