พื้นฐานตรรกศาสตร์-เลขม.ปลายออนไลน์

พื้นฐานตรรกศาสตร์

ความเป็นมาตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์เป็นวิชาแขนงหนึ่งที่มีการศึกษาและพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ คำว่า    “ตรรกศาสตร์”   มาจากภาษาสันสกฤตว่า “ตรฺก”  (หมายถึง การตรึกตรอง หรือความคิด)  รวมกับ    “ศาสตร์” (หมายถึง ระบบความรู้)  ดังนั้น  “ตรรกศาสตร์ จึงหมายถึง ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด”  โดยความคิดที่ว่านี้ เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล มีกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล  นักปราชญ์สมัยโบราณได้ศึกษาเกี่ยวกับการให้เหตุผล แต่ยังเป็นการศึกษาที่ไม่เป็นระบบ จนกระทั่งมาในสมัยของอริสโตเติล ได้ทำการศึกษาและพัฒนาตรรกศาสตร์ให้มีระบบยิ่งขึ้น  มีการจัดประเภทของการให้เหตุผลเป็นรูปแบบต่าง ๆ  ซึ่งเป็นแบบฉบับของการศึกษาตรรกศาสตร์ในสมัยต่อมา  เนื่องจากตรรกศาสตร์เป็นวิชาทว่าด้วยกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผล  จึงเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาในศาสตร์อื่น ๆ  เช่น ปรัชญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ กฎหมาย เป็นต้น  นอกจากนี้ ยังถูกนำมาใช้ในชีวิตประจำวันอยู่เสมอ เพียงแต่      รูปแบบของการให้เหตุผลนั้น  มักจะละไว้ในฐานที่เข้าใจ  และเพื่อเป็นความรู้พื้นฐานสำหรับ      ผู้ศึกษาที่จะนำไปใช้และศึกษาต่อไป  จึงจะกล่าวถึงตรรกศาสตร์และการให้เหตุผลเฉพาะส่วนที่   จำเป็นและสำคัญเท่านั้น

ตรรกศาสตร์(Logic)

ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล  การได้มาของผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดถือเป็นสาระสำคัญ  ข้อความหรือการให้เหตุผลในชีวิตประจำวันสามารถสร้างเป็นรูปแบบที่ชัดเจนจนใช้ประโยชน์ในการสรุปความ  ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนงต่าง ๆ และการประยุกต์

ตรรกศาสตร์เป็นส่วนหนึ่ง  ที่อยู่ในส่วนของการประมวนผลข้อมูลทางด้านคอมพิวเตอร์ในด้านการประมวลผลข้อมูลทางด้านคอมพิวเตอร์ในด้านการประมวลผลเชิงตรรก  โดยในเรื่องนี้จะเป็นการประมวลผลค่าความจริงเพียงค่าเดียวซึ่งในการคำนวณจะเน้นเชิงของเหตุและผล  ตามหลักของ  พิชคณิตบูลีน  ซึ่งในการให้ค่าความจริงนั้น  จะมีค่าจริงและค่าเท็จ  แต่จะให้ผลออกมาค่าใดค่าหนึ่งเท่าหนึ่งเท่านั้น  ในการประมวลของตรรกศาสตร์นั้น  ยังต้องอาศัยตัวเชื่อมเข้ามาเกี่ยวข้อง  เพื่อให้การวิเคราะห์  หรือ  ตัดสินใจนี้ให้เหตุผลที่ถูกต้องที่สุดอีกด้วย

ประพจน์ Proposition , Statement

ประพจน์ (Proposition ,Statement)  หมายถึง  ประโยชน์หรือข้อความ  ที่มีค่าความจริงเป็นจริง  หรือเป็นเท็จเพียงค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้น  ซึ่งอาจอยู่ในประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้

กลุ่มข้อความที่จัดว่าเป็นประพจน์

ประโยค	ค่าประพจน์
กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย นกไม่มีปีก ธนาคารมีการบันทึกและจัดเก็บข้อมูลลูกค้าไว้ในคอมพิวเตอร์ 4+5มีค่าเท่ากับ 9 จังหวัดอุดรธานีไม่ได้อยู่ในภาคอีสาน 2 + 3  =  3  –  1 โลกเป็นดาวเคราะห์ เลขคู่ทุกจำนวนหารด้วยสองลงตัว 17 + 8 = 30 เซตว่างไม่เป็นสับเซตของทุกเซต ปลาและนกเป็นสัตว์บก	จริง เท็จ จริง จริง เท็จ เท็จ จริง จริง เท็จ เท็จ เท็จ

แต่ข้อความที่ไม่จัดได้ว่าเป็นลักษณะของประพจน์  จะเป็นข้อความหรือประโยคประเภท  คำถาม  คำสั่ง  อ้อนวอน  ขอร้อง  อุทาน  ห้าม  หรือแสดงความปรารถนา

กลุ่มข้อความที่ไม่จัดว่าเป็นประพจน์

ประโยค	ประเภท
50 คูณด้วย 40 มีค่าเท่ากับเท่าไร หยุดเดี๋ยวนี้นะ อย่าส่งเสียงดังในเวลาทำงาน กรุณาปิดไฟทุกครั้งก่อนออกจากห้อง ได้โปรดเถอะนะถือว่าสงสารฉันหน่อย ว้าย! ตะเถรตกกระโถน บรรยากาศสำหรับเราสองคนอยากให้เป็นเช่นนี้จังเลย อย่าคุยเวลาทำงาน อยากดูหนังมากเลย ว้าย! น่ากลัวจัง	คำถาม คำสั่ง ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน อุทาน ปรารถนา ห้าม ปรารถนา อุทาน

หลักในการหาค่าความจริง

1. เขียนค่าความจริงของประพจน์ย่อย หรือตัวแปรแต่ละตัวก่อน เช่นp,q,r,…
2. หาค่าความจริงที่เป็นนิเสธของตัวแปร ถ้ามี~p,~q,…
3. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด
4. หาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมที่กินความมากขึ้นตามลำดับ
5. ถ้าตัวเชื่อมกินความเท่ากัน ให้ทำจากซ้ายไปขวา
6. ถ้ามีวงเล็บควรทำในวงเล็บก่อน

ตัวเชื่อมที่กินความน้อยที่สุด ไปหามากที่สุด เรียงตามลำดับดังนี้

1. ~
2. ^
3. v
4. →
5. ↔

ตารางเรียงลำดับคุมความของลักษณ์จากมากไปหาน้อย

สัญลักษณ์	ความหมาย	ขยายความหมาย
↔	ก็ต่อเมื่อ	มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อประพจน์ที่เชื่อมกันมีค่าความจริงเหมือนกัน
→	ถ้า…แล้ว	มีค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อประพจน์หน้าเป็นจริงและหลังเป็นเท็จ
^	และ	มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกประพจน์เป็นจริงทั้งหมด
v	หรือ	มีค่าความเป็นจริง เมื่อมีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง
~	ไม่	มีค่าความตรงข้าว เช่นเปลี่ยนจากเป็นเท็จ หรือเปลี่ยนจากเท็จเป็นจริง

จากตารางเรียงลำดับคลุมความจากมากไปน้อย โดยสัญลักษณ์ที่คลุมความน้อยกว่าต้องเริ่มจัดการทำก่อนสัญลักษณ์ที่คลุมความมากกว่า ส่วนกรณี^และvเป็นสัญลักษณ์ที่คลุมความเท่ากัน ดังนั้นจึงต้องใช้วงเล็บกำกับ เพื่อชี้ให้เห็นว่าจะต้องเริ่มทำที่ตัวเชื่อมใดก็ได้

p	q	~q	pvq	p^~q	pvq→p^~q
T T F F	T F T F	F T F T	T T T F	F T F F	F T F T

ตัวอย่าง จงหาตารางความจริงของประพจน์ pvq→p^~q

วิธีทำ     1. เขียนค่าของ p, q ก่อน

2. หาค่า~q ก่อน
3. หาค่าpvq และ p^~q
4. หาค่าpvq→p^~q

ในกรณีที่ทราบค่าแน่นอนของตัวแปร (หรือประพจน์ย่อย) เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์รวมได้ทันทีโดยเขียนตารางเพียงแถวเดียว

ตัวอย่าง                จงหาค่าความจริงของ (p→q)v(r^s)

เมื่อให้ p เป็นเท็จ q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ s เป็นเท็จ

วิธีทำ                     P(p,q,r,s) = (p→q)v(r^s)

P(F,F,F,F) = T

ตัวอย่าง                “ถ้า 1+1 = 3 หรือ 2+2 = 5 แล้ว 1+2 = 4”

วิธีทำ                     ให้ p คือ 1+1 = 3 เป็น F

q คือ 2+2 = 5 เป็น F

r คือ 1+2 = 4 เป็น F

ประโยคข้างต้นสามารถเขียนแทนด้วย p^q→r

pvq = FvF = F

pvq→r = F→F = T

ตัวอย่าง จงเขียนประโยคที่กำหนดให้ในรูปสัญลักษณ์

(1)          ถ้า 4 เป็นเลขคี่แล้ว 5 เป็นเลขคู่

p แทน 4 เป็นเลขคี่

q แทน 5 เป็นเลขคู่

   ดังนั้นเขียนแทนด้วย p→q

(2)          2 เท่ากับหรือมากกว่า 3

p แทน 2 เท่ากับ 3

q แทน 2 มากกว่า 3

   ดังนั้นเขียนแทนด้วย pvq

(3)          6 หาร 3 ได้ลงตัวก็ต่อเมื่อ 3 บวก 3 เท่ากับ 7

p แทน 6 หาร 3 ลงตัว

q แทน 3 บวก 3 เท่ากับ 7

    ดังนั้นเขียนแทนด้วย p↔q

(4)          ดอกกุหลาบมีสีแดงและดอกมะลิมีสีฟ้า

p แทนดอกกุหลาบมีสีแดง

q แทนดอกมะลิมีสีฟ้า

    ดังนั้นเขียนแทนด้วย p^q