ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, … เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ an = a1 + (n−1)d
หรือในกรณีทั่วไป จะได้ an = am + d(n−m)d
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด an = an-1 + d
กำหนดให้ a1,a2,a3,...,ana1,a2,a3,…,an เป็นลำดับเลขคณิต
ดังนั้น a1+a2+a3+...+ana1+a2+a3+…+ an เป็นอนุกรมเลขคณิต
ให้ sun กันคับว่าหมายความว่าอย่างไร สมมติว่าผมมีอนุกรมเลขคณิต
2+4+6+8+10+12+...2+4+6+8+10+12+… ต้องการหา S1,S2,S3,S4S1,S2,S3,S4
คือผลบวกของหนึ่งพจน์แรก ซึ่งมีค่าเท่ากับพจน์แรกของอนุกรมนั่นเอง
S2=2+4=6S2=2+4=6 ซึ่งก็คือผลบวกสองพจน์แรกของอนุกรม
S3=2+4+6=12S3=2+4+6=12 ซึ่งก็คือผลบวกสามพจน์แรกของอนุกรม
S4=2+4+6+8=20S4=2+4+6+8=20 ซึ่งก็คือผลบวกสี่พจน์แรกของอนุกรม
แต่ถ้าเราต้องการหาสูตรทั่วไปในการในการหาผลบวก n พจน์แรก หรือว่าหา sn ซึ่งเจ้าตัวนี้เป็นตัวที่สำคัญมากเราจำเป็นต้องทำความเข้าใจและจำให้ได้ เพราะว่าเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการเรียนเรื่องนี้ให้เข้าใจ สำหรับผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตหรือว่า sn นั้นสามารถหาได้จากสูตร
สำหรับสูตรพวกนี้นั้นมันมาได้อย่างไร ก็ต้องอาศัยการพิสูจน์ซึ่งถ้าใครสนใจการพิสูจน์ก็สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือ คณิตศาสตร์ของ สสวท. ซึ่งเขาเขียนพิสูจน์ไว้ดีมาก….
สำหรับการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องอนุกรมเลขคณิตนี้ผมก็ได้ สอนและอัดลงวิดีโอข้างล่างนี้แล้วใครสนใจก็ คลิกฟังได้ ไม่เข้าใจตรงไหนก็ถาม ที่สำคัญต้องทำแบบฝึกเพิ่มเติมด้วยน่ะคับ
Example: เขียนกฎและคำนวณเทอมที่ 9 สำหรับลำดับเลขคณิตนี้:
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, … |
This sequence has a difference of 5 between each number.
ค่าของ a และ d คือ:
- a = 3 (เทอมแรก)
- d = 5 (ค่าความแตกต่างทั่วไป)
การใช้กฎลำดับเลขคณิต:
xn = a + d(n−1)
= 3 + 5(n−1)
= 3 + 5n − 5
= 5n − 2
So the 9th term is:
x9 = 5×9 − 2
= 43
1.จงหาผลบวก 50 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 5,7,9,11,13,…
นั่นก็คือหาผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 5+7+9+11+13+…
จาก Sn=n2[2a1+(n−1)d]Sn=n2[2a1+(n−1)d] จะได้
S50=502[2(5)+(50−1)2]S50=502[2(5)+(50−1)2] จากตรงนี้ d=2 น่ะคับ d=7-5=2
S50=25[10+98]S50=25[10+98]
S50=2700S50=2700
ดังนั้นผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ 2700
2.จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 6+9+12+15+…+99
ข้อนี้ก็คล้ายกับข้อหนึ่งคับ แต่ผมแน่ะนำให้ใช็สูตรนี้ในการหาคำตอบดีกว่า
จากสูตร Sn=n2[a1+an]Sn=n2[a1+an]
การที่เราจะหาผลบวกอนุกรมนี้ได้เราต้องรู้ก่อนว่าอนุกรมเลขคณิตนี้มีทั้งหมดกี่พจน์วิธีการหาคือใช้ความรู้เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต คือ
an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
99=6+(n−1)399=6+(n−1)3
99=6+3n−399=6+3n−3
3n=99−6+33n=99−6+3
n=963n=963
n=32n=32
จะเห็นว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 32 พจน์นั้นคือถ้าจะหาผลบวกคือต้องหา S32S32
S32=322[6+99]S32=322[6+99]
s32=1680s32=1680
3.ชายคนหนึ่งเริ่มทำงานตั้งแต่ปี พ.ศ.2540 โดยได้รับเงินเดือน 9500 บาท ถ้าเขาได้เงินเดือนขึ้นปีละ 700 บาท จงหาว่าในปี พ.ศ. 2550 เขาจะได้รับเงินเดือนเดือนละเท่าไร
ปี2540 ได้เงินเดือนๆละ 9500 บาท
ปี 2541 ได้เงินเดือนๆละ 9500+700=10200 บาท
ปี 2542 ได้เงินเดือนๆละ 10200+700=10900 บาท
โจทย์ถามว่าในปี 2550 จะได้รับเงินเดือนๆละเท่าไร
ลำดับเลขคณิตภาษาอังกฤษ ใช้คำว่า Arithmetic Sequence ลำดับเลขคณิตมีลักษณะเป็นเช่นไรนั้น ให้
ลองพิจารณาลำดับที่ผมกำหนดให้ดูดังนี้
1) พิจาารณาลำดับ
1,3,5,7,9,…
จะเห็นว่า ถ้าเอา
3-1=2
5-3=2
7-5=2
9-7=2
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 2
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
2) พิจารณาลำดับ
4,8,12,16,20,24,….
จะเห็นว่า ถ้าเอา
8-4=4
12-8=4
16-12=4
20-16=4
24-20=4
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 4
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
จากตัวอย่างข้อ 1) และ 2)
ค่าที่เกิดจากการนำ พจน์ที่อยู่ด้านหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า ค่าๆนี้เรียนกว่า ผลต่างร่วม(common difference) เราจะแทนผลต่างร่วมด้วยตัว d
ลำดับ 1,3,5,7,9,…
มีผลต่างร่วมหรือว่า d=2
และ
ลำดับ 4,8,12,16,20,24,….
มีผลต่างร่วมหรือ d=4
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ
an=a1+(n−1)d
1.จงหาพจน์ที่ 40 ของลำดับเลขคณิต 1,5,9,13,…
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หา a40a40 นั่นเองครับไม่มีอะไรยุ่งยากคับ
จาก an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d ข้อนี้ n=40 a1=1,d=5−1=4a1=1,d=5−1=4
แทนค่าลงไปเลยจะได้
a40=1+(40−1)4a40=1+(40−1)4
a40=1+39(4)a40=1+39(4)
a40=1+156a40=1+156
a40=157a40=157
นั่นคือ พจน์ที่ 40 คือ 157
2.จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,…
วิธีทำ เนื่องจากมันลำดับเลขคณิต ดังนั้น จะมีพจน์ทั่วไปคือ
an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
จากโจทย์ a1=6,d=2−6=−4a1=6,d=2−6=−4 แทนค่าลงไปเลยคับจะได้
an=6+(n−1)(−4)an=6+(n−1)(−4)
an=6−4n+4an=6−4n+4
an=10−4nan=10−4n แค่นี้คับเสร็จแล้ว
3.จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี a4=26a4=26 และ a9=61a9=61
วิธีทำ ข้อนี้จริงๆแล้วคิดในใจได้ แต่ถ้าถามถึงวิธีคิดทั่วไปคือ คิดแบบนี้น่ะ
จากที่เรารู้ คือ an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
a4=26a4=26 แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า
<span id=”MathJax-Element-19-Frame” class=”MathJax” style=”font-style: normal;font-weight: normal;line-height: normal;font-size: 16px;text-indent: 0px;text-align: left;text-transform: none;letter-spacing: normal;float: none;direction: ltr;max-width: none;max-height: none;min-width: 0px;min-height: 0px;border: 0px;padding: 0px;margin: 0px” role=”presentation” data-mathml=”26=a1+3d”>26=a1+3d26=a1+3d ให้เป็นสมการที่ 1
a9=a1+(n−1)da9=a1+(n−1)d แต่ a9=61a9=61 แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า
61=a1+8d61=a1+8d ให้เป็นสมการที่ 2
ข้อนี้เขาให้หา a1a1 จากสมการที่ 1 และ 2 เราสามารถแก้ระบบสมการนี้เพื่อหาค่า a1a1 ได้น่ะน่าจะมองออก
นำสมการที่ 2 ลบ สมการที่ 1 จะได้
61−26=(a1+8d)−(a1+3d)61−26=(a1+8d)−(a1+3d)
35=5d35=5d
d=355d=355
d=7d=7
นำค่า d=7 ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 1 หรือ สมการที่ 2 ก็ได้เพื่อหาค่า a1 ออกมาผมแทนค่าในสมการที่ 1 นะจะได้
26=a1+3d26=a1+3d
26=a1+3(7)26=a1+3(7)
a1=26−21a1=26−21
a1=5a1=5
a1=5a1=5
