ประพจน์ (Proposition ,Statement) หมายถึง ประโยชน์หรือข้อความ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือเป็นเท็จเพียงค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจอยู่ในประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
กลุ่มข้อความที่จัดว่าเป็นประพจน์
| ประโยค | ค่าประพจน์ |
| กรุงเทพเป็นอยู่ประเทศไทย
นกมีปีก ธนาคารมีการบันทึกและจัดเก็บข้อมูลลูกค้าไว้ในคอมพิวเตอร์ 4+5มีค่าเท่ากับ 9 จังหวัดอุดรธานีไม่ได้อยู่ในภาคอีสาน 8 + 3 = 3 – 1 โลกเป็นดาวเคราะห์ เลขคู่ทุกจำนวนหารด้วยสองลงตัว 18 + 8 = 30 เซตว่างไม่เป็นสับเซตของทุกเซต ปลาและนกเป็นสัตว์บก |
จริง
จริง จริง จริง เท็จ เท็จ จริง จริง เท็จ เท็จ เท็จ |
แต่ข้อความที่ไม่จัดได้ว่าเป็นลักษณะของประพจน์ จะเป็นข้อความหรือประโยคประเภท คำถาม คำสั่ง อ้อนวอน ขอร้อง อุทาน ห้าม หรือแสดงความปรารถนา
กลุ่มข้อความที่ไม่จัดว่าเป็นประพจน์
| ประโยค | ประเภท |
| 50 คูณด้วย 40 มีค่าเท่ากับเท่าไร
หยุดเดี๋ยวนี้นะ อย่าส่งเสียงดังในเวลาทำงาน กรุณาปิดไฟทุกครั้งก่อนออกจากห้อง ได้โปรดเถอะนะถือว่าสงสารฉันหน่อย ว้าย! ตะเถรตกกระโถน บรรยากาศสำหรับเราสองคนอยากให้เป็นเช่นนี้จังเลย อย่าคุยเวลาทำงาน อยากดูหนังมากเลย ว้าย! น่ากลัวจัง |
คำถาม
คำสั่ง ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน อุทาน ปรารถนา ห้าม ปรารถนา อุทาน |
การเชื่อมประพจน์
ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิจประจำวัน จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคมากกว่าหนึ่งประโยคด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำว่า “ไม่” คำเหล่านี้เรียกว่า ตัวเชื่อม (connective)
ตัวอย่าง
11เป็นจำนวนคี่ และ 16 เป็นจะนวนคู่
ถ้า 5 เป็นจำนวนคี่ แล้ว 32 เป็นจำนวนคี่
รูปสามเปลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาวของด้านเท่ากันทุกด้าน
เราจะเรียกกประพจน์ที่เชื่อมกัยด้วยตัวเชื่อมต่างๆว่า ประพจน์ย่อย (atomic statement) หรือ ประพจน์เชิงเดียว (simple statement) เรียกประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดียวด้วยตัวเชื่อมว่า ประพจน์เชิงประกอบ (compound statement )
นิยมใช่อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น p, q, r, s แทนประพจน์ที่นำมาเชื่อมกัน ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆแล้วค่าความจริงของ p เป็นได้ 2 กรณี คือ จริง (true) ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ T หรือ เท็จ (false) ซึ่งแทนสัญลักษณ์ F แสดงได้ดังตาราง
เรียกตารางซึ่งแสดงกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดองประพจน์ p ว่า ตารางค่าความจริง (truth table) ของ p
ถ้ามีสองประพจน์ คือ p และ q แล้วจะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงได้ทั้งหมด 4 กรณี ซึ่ง T และ F ของ pต่างจับคู่กับกรณี T และ F ของ p ได้ดังนี้
2.1 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “และ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆแล้ว การเชื่อมประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “และ” (and) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “p และ q” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q และเขียนตารางค่าความจริงของ p ∧ q ได้ดังนี้
จากตารางค่าความจริงข้างต้น เมื่อต้องการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “และ” ให้พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่นำมาเชื่อมว่าตรงกับกรณีใด เช่น ต้องการหาค่าความจริงของประพจน์
ตัวอย่าง 3 ∈ {1,3,5,…} และ 3 เป็นจำนวนคี่
จะต้องพิจารณาค่าความจริงของปรพจน์ “3 ∈ {1,3,5,…}” และ “3 เป็นจำนวนคี่” ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ ดังนั้น ค่าความจริงของ “3 ∈ {1,3,5,…} และ 3 เป็นจำนวนคี่” คือ จริง
ในทำนองเดียวกัน ค่าความจริงของประพจน์
ตัวอย่าง 3 เป็นจำนวนตรรกยะ และ √3 เป็นจำนวนตรรกยะ
คือ เท็จ เพราะประพจน์ “√3 เป็นจำนวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์ ” 3 เป็นจำนวนตรรกยะ และ √3 เป็นจำนวนตรรกยะ”
ตัวเชื่อม “และ” อาจเขียนในรูปแบบอื่รที่มีความหมายอย่างเดียวกัน เช่น “แต่” “กับ”
2.2การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี
ถ้า p หรือ q เป็นประพจน์ใดๆแล้ว การเชื่อมประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” (or) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “p หรือ q” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p ∨ q และเขียนตารางค่าความจริงของ p ∨ q ได้ดังนี้
จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วย “หรือ”
ตัวอย่าง กำหนดให้
√2 เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ √2 เป็นจำนวนเต็ม” มีค่าความจริงเป็นเท็จเพราะ “√2 เป็นจำนวนตรรกยะ” และ “√2 เป็นจำนวนเต็ม” มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
“2 เป็นจำนวนคู่ หรือ 23 เป็นจำนวนคี่” ที่มีค่าควาจริงเป็นจริง เพราะค่าความจริง “2 เป็นจำนวนคู่” คือ จริง
ตัวอย่าง จงพิจารณาประพจน์ 1+5 = 5+1 , 4(2+3) = (4×2)+(4×3)
เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย”หรือ” จะได้ประพจน์ใหม่คือ
1+5 = 5+1 หรือ 4(2+3) = (4×2)+(4×3)
หมายเหตุ ความหมายของคำว่า “หรือ” ที่ใช้โดยทั่วไปมีสองกรณี
กรณีที่ 1 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญ แต่ละครั้งเหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว
กรณีที่ 2 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือนักเรียนที่ช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นักเรียนที่ได้รางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียงอย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียว แต่บางคนอาจจะเรียนดีและช่วยกิจกรรมของโรงเรียน
ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรือ”หมายถึงกรณีที่ 2
2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า…แล้ว…” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี
ถ้า p หรือ q เป็นประพจน์ใดๆแล้ว การเชื่อมประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…” (if…then…) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “ถ้า p แล้ว q” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p → q และเขียนตารางค่าความจริงของ p → q ได้ดังนี้
จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”
ตัวอย่าง
“ถ้า 5 เป็นจำนวนคี่ แล้ว 54 เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ “5 เป็นจำนวนคี่” และ “54 เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่
“ถ้า 0 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว 0 เป็นจำนวนลบ” มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะ “0 เป็นจำนวนเต็ม” และ “0 เป็นจำนวน][” มีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จตามลำดับ
ตัวอย่าง จงพิจารณาประพจน์ 2 + 3 = 3 + 2 , 6(2+3) = 6(3 + 2)
เมื่อเชื่อมด้วย”ถ้า…แล้ว…”ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้น คือ
ถ้า 2 + 3 = 3 + 2 แล้ว 6(2+3) = 6(3 + 2)
ประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า ถ้า เรียกว่า เหตุ ส่วนประพจน์ซึ่งตามหลังคำว่า แล้ว เรียกว่า ผล
ประพจน์ที่ใช่ตัวเชื่อม”ถ้า…แล้ว…”มีบทบาทสำคัญยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากทฤษฎีบทในวิชาคณิตศาสตร์ส่วนมากจะอยู่ในรูป p → q เช่น ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามจัมีขนาดเท่ากัน
2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อนั้นเป็นจริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี
ถ้า p หรือ q เป็นประพจน์ใดๆแล้ว การเชื่อมประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (if and only if) ได้ประพจน์ใหม่เป็น ” p ก็ต่อเมื่อ q” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ p ↔ q และเขียนตารางค่าความจริงของ p ↔ q ได้ดังนี้
จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”
ตัวอย่าง
“2<3 ก็ต่อเมื่อ 1/2 > 1/3″ มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ “2<3” และ “1/2 > 1/3 “ความจริงเป็นจริงทั้งคู่
“22 = (-2)2 ก็ต่อเมื่อ 2 = -2″ มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะ “22 = (-2)2” มีค่าความจริงเป็นจริง แต่ “22 = (-2)2” มีค่าความจริงเป็นเท็จ
“7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 เป็นจำนวนคู่” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ “7 หาร ด้วย 2 ลงตัว” และ “ๆ เป็นจำนวนคู่” มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
ตัวอย่าง จงพิจารณาประพจน์ 2(3 + 2) = 2×5 , 3+2 = 5
เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ประพจน์ที่ได้ใหม่คือ
2(3 + 2) = 2×5 ก็ต่อเมื่อ 3+2 = 5
ซึ่งมีความหมายเป็น ถ้า 2(3+2) = 2×5 แล้ว 3 +2 = 5 และ ถ้า 3+2 = 5 แล้ว 2(3 +2) = 2×5
หมายเหตุ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบทนิยามต่าง ๆ ถ้านำมาเขียนเป็นประโยคที่มี ตัวเชื่อมจะมีความหมายเดียวกับการใช้ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” เช่น “รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน” หมายความว่า “รูป สามเหลี่ยมใดจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน
2.5 นิเสธของประพจน์
ค่าความจริงของนิเสธจะตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์เดิมเสมอ
ถ้า p เป็นประพจน์ แล้ว นิเสธ (negation) ของ p เขียนด้วยสัญลักษณ์ ∼p เขียนตารางค่าความจริงของ ∼p ได้ดังนี้
จากตารางจะหาค่าความจริงของนิเสธของประพจน์
ตัวอย่าง
ถ้า p แทนประพจน์ “จุด (2,0) อยู่บนแกน X” แล้ว ~p หรือประพจน์ “จุด (2,0) ไม่อยู่บนแกน x” มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะค่าความจริงของ p คือ จริง
2. ถ้า q แทนประพจน์ “งูไม่เป็นสัตว์เลื้อยคลาน” แล้ว ~q หรือประพจน์ “งูเป็นสัตว์เลื้อย คลาน” มีค่าความจริงเป็นจริง ราะค่าความจริงของ 4 คือ เท็จ
ประโยคเปิด (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
2. x + 5 =15
3. y < – 6
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
2.โลกหมุนรอบตัวเอง
3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8
