โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

ความสัมพันธ์เป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่มีบทบาทมากในการวิเคราะห์ความเกี่ยวข้องกันระหว่างสมาชิกในเซตเดียวกับหรือสมาชิกต่างเซตกัน โดยสมาชิกที่สัมพันธ์กันจะถูกเขียนในรูปของคู่อันดับ ถ้าเราให้ S เป็นเซตของนักเรียน และ C เป็นเซตของวิชา ถ้านักเรียนคนที่ s ได้ลงเรียนวิชา c นั้นคือนักเรียน s และวิชา c สัมพันธ์กันในลักษณะของการลงเรียนวิชาเขียนแทนด้วยคู่อัน (s,c) โดยที่คู่อันดับ (s,c) เป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน S x C เมื่อเรารวบรวมคู่อัน (s,c) ทั้งหมดเราจะได้เซตที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของนักเรียนกับวิชาที่เรียน นอกจากนี้หากนักเรียน s ได้ลงเรียนวิชา c1, c2 และ c4 เราสามารถแทนด้วยคู่อันดับ

( s, { c1, c2, c4 } ) ซึ่งเป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน S x P(C) โดยที่ P(C) คือเพาเวอร์เซตของเซต C

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = { a, b } จงหา A x P(A)

วิธีทำ พิจารณา P(A) = { { }, {a}, {b}, { a, b } } จะได้ว่า

A x P(A) = { (a, { }), (a, {a}), (a, {b}), (a, { a, b }), (b, { }), (b, {a}), (b, {b}), (b, { a, b }) }

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 และ 5 ตามลำดับจำนวนความสัมพันธ์ของ A และ B ที่แตกต่างกันมีค่าเท่าใด

วิธีทำ เนื่องจาก n(A) = 3 และ n(B) = 5 จะได้ว่า n( A x B ) = 15 ความสัมพันธ์คือการเลือกหรือรวบรวมผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B นั้นคือเซตย่อยของ A x B ดังนั้นจำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนเซตย่อยของ A x B เท่ากับ 2¹⁵

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์คืออะไร เรามาดูความหมายของโดเมน(Domain)และเรนจ์(Range) กัน

ให้ r เป็นความสัมพันธ์ใดๆ

$r = {(x, y)}$

โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย $D_{r}$ และมีความหมายดังนี้

$D_{r} = {x | (x, y) \in r}$ ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ…ก็คือ โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน r

เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย $R_{r}$ และมีความหมายดังนี้

$R_{r} = {y | (x, y) \in r}$ ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ…ก็คือ เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน r

มาดูตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์กัน…คับ

ตัวอย่างที่ 1 ให้ $r = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}$ จงหา $D_{r}$ และ $R_{r}$

วิธีทำ จากความหมายของ $D_{r}$ คือ $D_{r} = {x | (x, y) \in r}$ จึงได้ว่า

$D_{r} = {1, 3, 5, 7}$

จากความหมายของ $R_{r}$ คือ $R_{r} = {y | (x, y) \in r}$ จึงได้ว่า

$R_{r} = {2, 4, 6, 8}$

ตัวอย่างที่ 2 ให้ $A = {(a, b), (c, d), (e, f), (m, n)}$ จงหา $D_{A}$ และ $R_{A}$

วิธีทำ

$D_{A}$ คือสมาชิกตัวของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า

$D_{A} = {a, c, e, m}$

$R_{A}$ คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า

$R_{A} = {b, d, f, n}$

ตัวอย่างที่ 3 ให้ $M = {(x, y) \in I^{+} \times I^{+} | x = y}$ จงหา $D_{M}$ และ $R_{M}$

วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต M เป็นการเขียนเซตในรูปแบบการบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับเราต้องเปลี่ยนรูปแบบของเซตใหม่โดยเปลี่ยนจากแบบเงื่อนไข ให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ จึงได้ว่า

$M = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), . . .}$ ดังนั้นจึงได้ว่า

$D_{M} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . .}$

$R_{M} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .}$

ตัวอย่างที่ 4 ให้ $N = {(x, y) \in I^{+} \times I^{+} | y = x^{2}}$ จงหา $D_{N}$ และ $R_{N}$

วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต N เป็นเซตที่เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับ เราต้องเขียนเซตนี้ใหม่น่ะคับ โดยเขียนให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ ดูจากเงื่อนไขในเซตน่ะ(เอ็กซ์เท่ากับวายยกกำลังสอง)แล้วจะเข้าใจ

จึงได้ว่า

$N = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36), (7, 49), (8, 64), . . .}$ ดังนั้น

$D_{N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .}$

$R_{N} = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .}$

ตัวอย่างที่ 5 ให้ $L = {(x, y) \in {0, 1, 2, 3,} \times {1, 2, 3, 4} | y = x - 1}$ จงหา $D_{L}$ และ $R_{L}$

วิธีทำ ข้อนี้เดี๋ยวจะแสดงให้ดูอย่างละเอียดเลยน่ะ ค่อยๆอ่านน่ะ..และทำความเข้าใจตามด้วย

หาตัวนี้ก่อนน่ะ

${0, 1, 2, 3} \times {1, 2, 3, 4} = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 1)$

$, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}$

ต่อไปก็ดูว่า คู่อันดับตัวไหนที่เป็นไปตามเงื่อนไข $y = x - 1$ บ้าง ก็จะมี

$(2, 1), (3, 2)$ ดังนั้นจึงได้ว่า

$L = {(2, 1), (3, 2)}$

ดังนั้น

$D_{L} = {2, 3}$

$R_{L} = {1, 2}$

ตัวอย่างที่ 6 ให้ $A = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ และกำหนดให้ความสัมพันธ์ r ใน A คือ ${(x, y) \in A \times A | y = x^{2}}$ จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ก่อนนะคับ เขาให้หาความสัมพันธ์ r ใน A โดยที่สมาชิกใน r นั้นต้องมีสมบัติเป็นดังนี้คือ $y = x^{2}$ ความหมายก็คือ เอาเอ็กซ์ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับวาย จะเห็นว่าถ้าผมมีคู่อันดับ (0,0) จะเห็นว่า x=0 และ y=0 เช่นกัน เอ็กซ์ยกกำลังสองจะเท่ากับวาย เพราะ $0 = 0^{2}$ หรือถ้าผมมีคู่อันดับ (-1,1) จะเห็นว่า x=-1 และ y= 1 เอ็กซ์กำลังสองจะเท่ากับวาย เพราะ $1 = (- 1)^{2}$ จริงไหม ดังนั้นสมาชิกของ r หาไม่ยากแล้ว คิดในใจก็ได้ ถ้าวิเคราะห์โจทย์เป็น ดังนั้น