ตัวประกอบของจำนวนนับ

ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว
ตัวอย่าง
30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น
หรือ
จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18
จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเอง
การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1
6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6
2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ
การหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรีนกว่า ตัวประกอบเฉพาะ
ตัวอย่าง
ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

  การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับนั้น ๆ
                ตัวอย่าง
                12 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3
                จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคื อเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ (2² อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )
                ตัวอย่างเพิ่มเติม
                75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ 5² x 3
                100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ 5²x 
                การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้
                วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขยนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
                               80 = 8 x 10
                                    = 2 x 4 x 2 x 5
                                    = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5                                    
                       หรือ  80 = 2⁴x 5
                วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้
                1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
                2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
                3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1
                4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
                                       2 )80         
                                       2 )40           
                                       2 )20           
                                       2 )10           
                                       5 ) 5           
                                            1
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       หรือ  80 = 2⁴x 5

ตัวประกอบของ 6 มีทั้งหมดกี่จำนวน ? จำนวนใดบ้าง ?

เลข 1 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 1 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 1 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 1 หารลงตัว ได้ผลหารคือ 6 ดังนั้น 1 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 1 = 6 → 6 = 1 x 6

เลข 2 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 2 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 2 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 2 หารลงตัว ได้ผลหารคือ 3 ดังนั้น 2 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 2 = 3 → 6 = 2 x 3

เลข 3 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 3 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 3 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 3 หารลงตัว ได้ผลหารคือ 2 ดังนั้น 3 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 3 = 2 → 6 = 3 x 2

เลข 4 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 4 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 4 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 4 หารไม่ลงตัว ดังนั้น 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 6

เลข 5 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 5 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 5 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 5 หารไม่ลงตัว ดังนั้น 5 ไม่เป็นตัวประกอบของ 6

เลข 6 เป็นตัวประกอบของ 6 หรือไม่ ?

	ทดสอบโดยนำ 6 ไปหาร 6 ถ้าหารลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 6 หารลงตัว ได้ผลหารคือ 1 ดังนั้น 6 เป็นตัวประกอบของ 6
	6 ÷ 6 = 1 → 6 = 1 x 6

ตัวประกอบทั้งหมดของ 6 คือจำนวนนับทั้งหมดที่หาร 6 ลงตัว ได้แก้ 1, 2, 3, 6

ข้อสังเกต
ทุกจำนวนจะมี 1 และตัวมันเองเป็นตัวประกอบ
เพราะ 1 หารจำนวนใด ได้ผลหารคือจำนวนนั้น

ตัวอย่างที่ 1 ตัวประกอบของ 12 มีทั้งหมดกี่จำนวน ? จำนวนใดบ้าง ?

ถ้าใช้วิธีข้างต้น ต้องทดสอบตัวเลขตั้งแต่ 1 – 12 เพื่อหาว่ามีเลขจำนวนใดบ้างที่หาร 12 ลงตัว วิธีข้างต้น เป็นการคิดแบบตรงไปตรงมา เข้าใจง่าย แต่ไม่เหมาะกับเลขที่มีขนาดใหญ่ เพราะต้องใช้เวลามาก

วิธีที่จะแนะนำต่อไปนี้หาตัวประกอบทั้งหมดของ 12 ได้เร็วกว่าวิธีแรก แต่การคำนวณมีความซับซ้อนมากกว่า ในการทำข้อสอบ ขอแนะนำให้ใช้วิธีที่จะกล่าวต่อไปนี้ เพราะสามารถหาคำตอบได้ถูกต้อง ครบถ้วน โดยใช้เวลาไม่มาก