สรุปสูตรจำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

สรุปสูตรจำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน ( COMPLEX NEMBER )

ในหัวข้อ จำนวนเชิงซ้อน นี้จะอธิบายถึงพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อน และกระบวนการต่าง ๆ ที่ใช้สำหรับ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งหัวใจของบทนี้ คือ การเข้าใจหน่วยจินตภาพ ( Imaginary Unit )

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ ( imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ^] ซึ่งกำหนดให้ i² = −1

ในระบบจำนวนจริง สมการพหุนามบางสมการ เช่น x² + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ   เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ในบทนี้ทุกสมการได้เสมอ   และเรียนจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นใหม่นี้ว่าจำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) ซึ่งนอกจากจะแก้ปัญหาในเรื่องการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ แล้ว ยังสามารถนำไปประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่างๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เช่น วงอิเล็กทรอนิกส์ กลศาสตร์ กลศาสตร์ของไหล ทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เป็นต้น 

 

– การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers )

           จากการที่กล่าวข้างต้นว่า   สมการพหุนาม X² + 1 = 0ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง   แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้   ดังนั้นจึงจะพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

 

บทนิยาม   จำนวนเชิงซ้อน  คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a  และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน   การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d)

           1.   การเท่ากัน

                 (a , b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ   b = d

           2.   การบวก

                 (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

           3.   การคูณ

(a, b) *(c, d) = (ac-bd , ab + bc)

           เราอาจแทน   ด้วย  (a, b)(c, d) ก็ได้

           เซตของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยสัญลักษณ์ C

 

 ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน(-1, 2) และ (3,  – 4)

วิธีทำ   ( – 1, 2)+(3 – 4)   =   ( – 1 + 3, 2 – 4)

                                                   =   (2,  – 2)

                           ( – 1 , 2)(3, 4)    =   (( – 1)3 – 2( – 4), ( – 1)( – 4)+2.3)

                                                  =   ( – 3 + 8 , 4+6)

                                                  =   (5 , 10)

 

           พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (x , 0) จะเห็นว่า

                      (a , 0) + (b , 0)   =   (a + b , 0)

                      (a, 0 )(b , 0)       =   

ซึ่งจะเหมือนกับการบวก และการคูณจำนวนจริง   ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป (a , 0) ว่าเป็นจำนวนจริง a ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า   เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน   เมื่อเราแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ด้วยจุด (a , b) ในระนาบ XY จะได้ว่าจำนวนจริง a แทนได้ด้วยจุด (a , 0) บนแกน X นั่นเอง

 

บทนิยาม

           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง

           เรียก a ว่าส่วนจริง (real   part) ของ z และแทนด้วย Re(z)

           เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(x)

           จากบทนิยามนี้   อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์   แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)

           ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0, 1)

           (0, 1) (0, 1)    =   (0 – 1, 0+0)   =   ( – 1, 0)

           ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน ( – 1 , 0) คือจำนวนจริง  – 1 นั่นเอง   เขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า

             I² = -1

           สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ

              (a , b)   =   (a , 0) + (0, b)

                           =   (a, 0) +(b, 0) (0, 1)

                           =   a + bi

           ฉะนั้น   จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a+ bi

 

           กำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b  เป็นจำนวนจริง   ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ   เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและคูณของจำนวนจริง และมีข้อมูลตกลงว่า  I² = -1 เช่น

                      (a + bi) + (c + di)   =   (a+c)+(bi+di)

                                                     =   (a+c) + (b+d)i

                      (a + bi)(c +di)        =   a(c+di)+bi(c+di)

                                                     =   ac + adi + bci + bdi²

                                                     =   (ac –  bd) + (ad+bc)i

          a + bi    =   c+ di   ก็ต่อเมื่อ   a   =   c   และ   b   =   b

           ต่อไป   เมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะถือว่า a และ b เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

 

ตัวอย่างที่  2   จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i และ 1 – i

วิธีทำ          (3+ 2i) + (1 – i)   =   (3+1) + (2 – 1) i  

                                                           =   4 + i

                                  (3+2i) (1 – i)       =   3(1 – i)+2i(1 – i)

                                                           =   3  –  3i + 2i + 2i²

                                                           =   (3+2) + ( – 3+2) i

                                                           =   5 –  i

 

ตัวอย่างที่  3   จงหาจำนวนจริง a , b ทีทำให้  (a+2i) + ( – 1+2bi) = 3 + 8i

วิธีทำ       เนื่องจาก     (a + 2i) + ( – 1 + 2bi)   =   (a – 1) + (2+ 2b)i

                              ฉะนั้น   a – 1   =   3   และ   2 + 2b   =   8

                               ดังนั้น   a   =   4      และ   b   =   3

 

ตัวอย่างที่  4     จงหาผลคูณ   1+ i , 2+ i และ  – 1 + 3i  

วิธีทำ       (1+ i)(2+i)( – 1+3i)   =   [(2 – 1) + (1 + 2 ) i ] ( – 1 +3i)

                                                           =   (1 + 3i) ( – 1 + 3i)

                                                           =   ( – 1 – 9)+(3 – 3) i

                                                           =    – 10 + 0i

                                                           =    – 10

ข้อสังเกต     เมื่อกำหนด i⁰ = 1แล้ว   จะได้   สำหรับ m    I⁺   {0}

                I^4m = 1, i^{4m + 1} = I , i^{4m + 2}  = -1, i^{4m + 3} =  i    

สมบัติที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า   Z₁ , Z₂ , Z₃ ,เป็นจำนวนเชิงซ้อน   แล้วจะได้ว่า

1.  Z₁ + Z₂ = Z₂ + Z₁ และ Z₁Z₂ = Z₂Z₁                                                                  (สมบัติการสลับที่)

2.  Z₁ + (Z₂ + Z₃) = (Z₁+Z₂) + Z₃ และ Z₁(Z₂Z₃) = (Z₁Z₂) Z₃                              (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)

3.   Z₁(Z₂ + Z₃) = Z₁Z₂ + Z₁Z₃                                                                              (สมบัติการแจกแจง)