ติวคณิตศาสตร์ เรื่องเซต(Set)เบื้องต้นเลข ม.4
เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 เรื่องเซต ที่ต้องเรียนรู้
- ความหมายของเซต
- เซตจำกัด และเซตอนันต์
- เซตว่าง และเอกภพสัมพัทธ์
- ยูเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต
- สับเซตและเพาเวอร์เซต
- แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การเขียนแทนเซต
แทนชื่อเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C, D, F,G
แทนสมาชิกของเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น a, b, c, d
การเขียนแทนเซต เขียนได้ 2 แบบ คือ
1. แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 เขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา “{ }” และใช้เครื่องหมายจุลภาค “,”
คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
เช่น
A ={A, B, C, D, F,G}
B ={a,e,i,o,u}
1.2 กรณีในบางเซตมีสมาชิกจ านวนมาก ซึ่งไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกได้ครบทุกตัว ให้เขียน
สมาชิก 3 ตัวแรก (หรือมากกว่านั้น) เพื่อเป็นแนวทางให้ทราบว่าสมาชิกที่ละไว้คืออะไรแล้วต่อด้วยจุดสามจุด “…” และเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย และปิดด้วยเครื่องหมายวงเล็บปีกกา “{ }”
1. ก ำหนดให้ A = {a, b} 2. ก ำหนดให้ A = {1, {2, 3}, 2}
…… 1.1 {a} ∈ A …… 2.1 {1} ∈ A
…… 1.2 {b} ∉ A …… 2.2 3 ∉ A
…… 1.3 a ∈ A …… 2.3 {2, 3} ∈ A
…… 1.4 b ∉ A …… 2.4 2 ∈ A
…… 1.5 a, b ∈ A …… 2.5 3 ∈ A
เซตจำกัด
| บทนิยาม | เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ | ||
| ตัวอย่างเช่น | A = {1, 2, 3, 4, 5} | มีสมาชิก 5 สมาชิก | |
| B = { a, e, i, o, u} | มีสมาชิก 5 สมาชิก | ||
| ตัวอย่างเช่่น | A = {1, 2, 3, 4, 5} | |
| B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} | ||
| ∴ | A = B | |
| ตัวอย่างเช่่น | A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} | ∴ A = Ø |
| B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } | ∴ ฺB = Ø | |
| เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด | ||
| ตัวอย่างเช่่น | ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม | |
| U = {…,-2,-1,0,1,2,…} | ||
| หรือ | U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.} | |
เซตว่าง และ เอกภพสัมพัทธ์
เซตว่าง และเอกภพสัมพัทธ์ จากบทเรียนเรื่องเซต คณิตศาสตร์ ม.4 ถือเป็นพื้นฐานของเรื่องเซต ที่เราควรจะทำความสนิทสนมกับมันให้มาก เพราะมันเป็นพื้นฐานทั้งหมดในการเรียนเรื่องเซต
เซตว่าง ( Empty Set)
คือเซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกเป็น 0 สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø
B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ B = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด
เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์
เช่น กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,3,5,7}
B = {2,4,8}
หรือกำหนดให้ U = {x ε I+ | 1<x<20}
A = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่บวก}
B = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่บวก}
นั่นคือทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U
ยูเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต
ยูเนียน (Union)
บทนิยาม
เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม
เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴A ∩ B = {3}
คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม
ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’
ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
∴A’ = {4,5}
ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม
ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A – B
ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴A – B = {1,2}
สมบัติของสับเซต
A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใด ๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ โดยให้ภาพทื่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์
ถ้ากำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3}
B = {1,2,3,4,5}
C = {3,5,6,7}
สรุปสูตร
1. A∪ B = B∪ A การสลับที่
2. A∩ B = B∩ A
3. A∪ ∅ = A
4. A∩ ∅ = ∅ เอกลักษณ์
5. A ∪ U = U
6. A∩ U = A
7. A∪ (B∪ C) = (A ∪ B) ∪ C การเปลี่ยนกลุ่ม
8. A∩ (B∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 9. A∪ (B∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A∪ C)
10. A∩ (B∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩ C) การกระจาย
11. A – (B∩ C) = (A – B) ∩ (A – C)
12. A – (B∪ C) = (A – B) ∪ (A – C)
13. (A’)’ = A
14. (A∪ B)’ = A’ ∩ B’ สมบัติของ Complement
15. A∪ A’ = U
16. A∩ A’ = ∅
17. A – B = A∩ B’ = B’ – A’ Difference
18. A – B B – A
สรุปสูตรเซต ม.4
- จำนวนสับเซตของA = 2^n(A)
- n(P(A)) = 2^n(A) , n(P(P(A))) = 2^2^n(A)
- P(A) U P(B) ⊂ P(A U B)
- P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
- A∩(B U C) = (A∩B) U (A∩C)
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
- (A U B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ U B’
- A – B = A ∩ B’
- A – (B ∩ C) = (A – B) U (A – C)
- A- (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)
- (A U B) – C = (A – C) U (B – C)
- (A ∩ B) – C = (A – C) ∩ (B – C)
- n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
- n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
