จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number)

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบคือ

1.ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2.ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนเชิงซ้อน

ระบบจำนวนจริงระบบจำนวนจินตภาพ

จำนวนตรรกยะจำนวนอตรรกยะ

จำนวนเต็มจำนวนเศษส่วน

จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มศูนย์จำนวนเต็มบวก

1.จำนวนจินตภาพ(Imaginary Number)เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์

พยายามแก้ไขปัญหาในค่าx จากสมการx² + 1 = 0

x²=-1

x=±Ö- 1

แต่เนื่องจากÖ- 1มิใช่จำนวนจริงนักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมายÖว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์iแทนÖ-1

ดังนั้นi²=-1

2.จำนวนตรรกยะ(Rational Number) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน

a/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่b ¹0จำนวนตรรกยะจำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ๆคือ

1.จำนวนเต็ม(Integer)

2.เศษส่วน(Fraction)

3.ทศนิยม(Repeating decimal)

3.จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ

ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่b ¹0หรือจำนวน

อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น

2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุpซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข

อตรรกยะ

สิ่งที่ควรทราบ

จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

4.จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number)เขียนแทนด้วยz โดยที่z = (a,b)

จะได้ว่าz=a + biเมื่อi=Ö-1i² = -1

เรียก a ว่าเป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อนz

b ว่าเป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนz

4.1การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน

ให้z₁ = a + biและz₂=c + di

ดังนั้นz₁=z₂ก็ต่อเมื่อa = cและb = d

4.2การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้z₁ = a + biและz₂=c + di

ดังนั้นz₁ + z₂=(a+c) + (b+d)i

4.3การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้z₁ = a + biและkเป็นจำนวนจริง

kz=ka + kbi

4.4การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้z₁ = a + biและz₂=c + di

z₁ z₂ = (a + bi)( c + di)=(ac – bd , ad+bc)

ตัวอย่างจงหาผลคูณของ3 + 4iกับ2 + i

วิธีทำ(3 + 4i)( 2 + i )=6 +3i + 8i + 4i²

=6 + 11i – 4=2 + 11i

4.5คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยz

ถ้าz = a + biแล้วz=a – bi