ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น-ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
ประโยชน์ของห.ร.ม. และ ค.ร.น.
เราต่างก็รู้จัก ห.ร.ม. หรือ หารร่วมมากกันเป็นอย่างดี ในทางคณิตศาสตร์ หารร่วมมากมีประโยชน์อย่างไร ตามมาดูกันเลย
ห.ร.ม. มีประโยชน์กับวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่อง เศษส่วน และการแก้โจทย์ปัญหา แต่ในบทความนี้ จะเป็นการนำประโยชน์ ห.ร.ม. ในเรื่อง เศษส่วน คือ การทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ โดยการหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีการตั้งหารหรือการหารสั้น
การหา ห.ร.ม. ในเรื่องเศษส่วน โดยการทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ด้วยการหารสั้นนั้น เนื่องจากเป็นวิธีที่ผู้เรียนส่วนมากมีความถนัด และมีความเป็นระเบียบเรียบร้อย ซึ่งความเป็นระเบียบเรียบร้อยของการ หารสั้นนั้นทำให้เกิดความผิดพลาดได้น้อยที่สุดกับผู้เรียน และจะส่งผลต่อผู้เรียนในเรื่องความเป็นระเบียบเรียบร้อยในชีวิตประจำวันอีกด้วย
หารร่วมมาก
บทนิยาม : กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจำนวนใดจำนวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์)
แล้ว จะกล่าวว่า d ϵ I+ เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจำนวนเต็ม a,b ก็ต่อเมื่อ d เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ d|a และ d|b
หมายเหตุ
- ห.ร.ม. เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
- ใช้สัญลักษณ์ d = (a,b) เพื่อแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม.ของ a และ b
- (a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a.-b) นั่นคือไม่ว่าเราจะหา ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- ถ้า a ไม่เป็นศูนย์แล้ว (a,0) = |a| นั่นคือ ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ก็คือตัวมันเองที่เป็นบวกนั่นเอง
การหา ห.ร.ม. แบบยูคลิด โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหาร
- นำจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาคำนวณผลการและเศษเหลือจากการหาร โดยให้จำนวนมากกว่าเป็นตัวตั้งจำนวนน้อยกว่าเป็นตัวหาร ในกรณีที่จำนวนที่สนใจเป็นจำนวนเต็มลบสามารถใช้สมบัติของ ห.ร.ม. ที่กล่าวว่าห.ร.ม.ของจำนวนเต็มลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- นำผลจากข้อ 1. มาคำนวณอีกครั้ง โดยให้ตัวหารจากข้อ 1 เป็นตัวตั้งและเศษเหลือเป็นตัวหารคำนวณหาผลหารและเศษเหลือตัวใหม่ออกมา
- ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารลงตัว
- ห.ร.ม. จะเท่ากับเศษเหลือตัวสุดท้ายที่เกิดขึ้น ซึ่งเหลืออยู่ก่อนบรรทัดสุดท้าย
ตัวคูณร่วมน้อย
นิยาม : ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a,b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก c ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ a|c และ b|c เรียกว่าเป็น ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. นั่นเอง
หมายเหตุ :
- ค.ร.น.เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์
- ใช้สัญลักษณ์ [a,b] =C เพื่อแสดงว่า c เป็น ค.ร.น. ของ a และ b
- [a,b] = [a,-b]= [-a,b)= [-a,-b] นั่นคือไม่ว่าเรา
- จะหา ค.ร.น.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน
- [0,a]=0
สมบัติ
- [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
- ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n
สมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ให้ a,b เป็นจำนวนเต็ม d= (a, b) , c = [a,b] จะได้ว่า dc = |ab|
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
คือจำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 ดังนั้น จำนวนเต็มสองจำนวนนั้นจะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
สมการไดโอแฟนไทน์
นิยาม : สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine Equation) คือ สมการที่มีตัวแปรที่เกี่ยวข้องมากกว่าหนึ่งตัว และมีผลเฉลยเป็นจํานวนเต็ม
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น (Linear Diophantine Equation) คือสมการไดโอแฟน ไทน์ที่อยู่ในรูป a1x1+a2x2+a3x3+… +anxn =b เป็นจำนวนเต็ม และ a1, a2, a3 ,…, an, b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์และเป็นตัวแปรซึ่งมีผลเฉลยเป็นจํานวนเต็ม
ตัวหารร่วมมาก และ ตัวคูณร่วมน้อย
| 1. พิจารณาตัวประกอบ ตัวประกอบของ 4 คือ 1, 2, 4 ตัวประกอบของ 8 คือ 1, 2, 4, 8 ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวประกอบร่วมของ 4, 8 และ 12 คือ 2. วิธีแยกตัวประกอบ ห.ร.ม. คือ 2 x 2 = 4 3. วิธีตั้งหาร ห.ร.ม. คือ 2 x 2 = 4 4. วิธียุคลิด |
1. พิจารณาพหุคูณ พหุคูณของ 4 คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24,….. พหุคูณของ 8 คือ 8, 16, 24, 32, 40,…. พหุคูณของ 12 คือ 12, 24, 36, 48, 60,…. พหุคูณร่วมของ 4, 8 และ 12 คือ 2. วิธีแยกตัวประกอบ 3. วิธีตั้งหาร ค.ร.น คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24 (ในกรณี ค.ร.น. ตัวที่มาหาร ไม่จำเป็นต้องหารจำนวนทั้งหมดได้ ตัวที่ไม่ได้ถูกหารก็ให้คงค่าไว้) |
สรุปทฤษฎีจำนวน (Number Theory)
นิยาม ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนต็ม c เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc
เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m สัญลักษณ์ n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว n|/m หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว
1. การหารลงตัว
a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b ลงตัว”
b/a = c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม
สมบัติ
1) ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
2) ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b
3) ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว a(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
2. การหารเหลือเศษ
a/b = c เศษ d → a = bxc+d โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < b เช่น
0/3 = 0 เศษ 0 → 0 = 3 x (0) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
2/3 = 0 เศษ 2 → 2 = 3 x (0) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
3/3 =1 เศษ 0 → 3 = 3 x (1) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
4/3 =1 เศษ 1 → 4 = 3 x (1) + 1 (เหลือเศษเท่ากับ 1)
11/3 = 3 เศษ 2 → 11 = 3 x (3) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับ เศษเหลือของ dm/b
3. จำนวนเฉพาะ และ จำนวนประกอบ
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีแต่ 1, −1, ตัวมันเอง, จำนวนตรงข้ามของตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว
(โดยที่ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
จำนวนประกอบคือ จำนวนเต็มบวก ที่ไม่ใช่ 1 และ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะโดยสามารถเขียนจำนวนประกอบ
ให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้ เช่น
4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
21 = 3 × 7
24 = 2 × 2 × 2 × 3
4. ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
ห.ร.ม. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ (a,b)คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากที่สุดที่หาร a และ b ลงตัว
การหาค่า ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หรือ (300,180) คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60
สมบัติ
1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
2) *** ถ้า n|a และ n|b จะได้ว่า n|(a,b)***
5. ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ค.ร.น. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ [a,b]คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว
การหาค่า ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ค.ร.น. ของ 300 และ 180 หรือ [300,180] คือ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 = 900
สมบัติ
1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
2) *** ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n***
6. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มีห.ร.ม. เท่ากับ 1(ดังนั้น จำนวนเต็ม 2 จำนวนนั้น จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน)
เช่น 21 กับ 25
21= 3×7
25 = 5×5
สรุป 21 กับ 25 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 21 กับ 25 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
26 กับ 35
26 = 2×13
35 = 5×7
สรุป 26 กับ 35 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 26 กับ 35 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
7. สมบัติร่วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
(a,b) x [a,b] = a x b เช่น (300,180) คือ 60 , [300,180] คือ 900
จาก (300,180) x [300,180] = 300 x 180
จะได้ 60 × 900 = 300 × 180
-ขอบคุณข้อมูล https://www.scimath.org/ และ https://www.chulatutor.com/
