เรียนเลขเรื่องลำดับและอนุกรม ม.5

อนุกรม คือ อะไร

อนุกรม ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น

อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วย

สัญลักษณ์ของผลรวม ∑ (ซิกม่า)

ลำดับ คือ อะไร
ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกหรือเซตของจำนวนเต็มบวก เรียกลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกว่า ลำดับจำกัดและเรียกลำดับที่มีโดเมนของจำนวนเต็มบวกว่า ลำดับอนันต์

ลําดับและอนุกรม มีอะไรบ้าง

ลำดับจำกัด
ลำดับอนันต์
ลำดับเลขคณิต
ลำดับเรขาคณิต
ลำดับพหุนาม
ลำดับหลายชั้น
ลำดับเว้นระยะ
ลำดับแบบมีค่าแตกต่างกันเป็นชุด
ลำดับกำลัง

ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์

เป็นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์
1,2,4,…,1024
เป็นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์

2 ลำดับอนันต์ (infinite sequences) หมายถึง ลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ไม่จำกัด เช่น
1.1,1.01,1.001,1.0001,…, ,…

3 พิจารณาลำดับ
1.1,1.01,1.001,1.0001,…, ,…
เมื่อ n มีค่ามากขึ้นมากๆ หรือใช้สัญกรณ์ว่า
( เราเรียก ว่า n tends to infinity
หรือ n มีค่าเป็นอนันต์)

4 โดยส่วนใหญ่จะใช้สัญกรณ์
( เราเรียกว่า limit n tends to infinity of an
หรือ ลิมิต n เข้าสู่อนันต์ของ an)
แทน

5 ถ้า
แล้ว
มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับค่า
เราจะกล่าวว่าลำดับ ลู่เข้าสู่ค่า A เมื่อ n มีค่าเป็นอนันต์
converges to A as n tends to infinity.
ถ้า
แล้ว
ไม่มีค่าใกล้เคียงค่าใดเฉพาะ
เราจะกล่าวว่าลำดับ ลู่ออก
diverges as n tends to infinity.

ความสัมพันธ์เวียนเกิด

ลำดับจำกัด คือ
ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } สามารถบอกได้ว่าลำดับนั้นมีพจน์ทั้งหมดกี่พจน์ได้อย่างแน่นอน

ตัวอย่างเช่น 2, 4, 6, 8, … , 36 (สามารถบอกจำนวนพจน์ได้แน่นอน)

ลำดับอนันต์ คือ
ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับนั้นมีจำนวนพจน์กี่พจน์

ตัวอย่างเช่น 2, 4, 6, 8 , ….
(ไม่สามารถบอกจำนวนพจน์ได้แน่นอน)

ลำดับเลขคณิต คือ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับของตัวเลขที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัวเป็นค่าเดียวกัน โดยเราเรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d

ตัวอย่างเช่น -2 , -4, -6, … , -8

ซึ่งมีผลต่างร่วม d = -2

ลำดับเรขาคณิต คือ
ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio)

ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54

มีอัตราส่วนร่วม คือ r = 3 เป็นต้น

ลำดับพหุนาม คือ
ลำดับพหุนาม คือ ลำดับที่สามารถเขียนพจนทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนาม

อนุกรมเลขคณิต( Arithmetic Series )

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

• ลำดับเลขคณิต
• ลำดับเรขาคณิต

ซึ่งลำดับเลขคณิตเป็นลำดับที่เกิดจากการบวก แต่ลำดับเรขาคณิตเป็นลำดับที่เกิดจากการคูณ

• ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)

ตัวอย่าง

1, 3, 5, 7, 9 ….  มี d = 2

9, 6, 3, 0, …. มี d = -3

• ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)

ตัวอย่าง

3, 6, 12, 24 …. มี r = 2

2, -4, 8, -16 … มี r = -2

• วิธีการหา a ที่พจน์ใดๆ
  • ลำดับเลขคณิต :  a_n=a₁+(n-1)d
  • ลำดับเรขาคณิต : a_n=a₁r^n-1

ให้ sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต ดังนั้น sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
 


สูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต

ตัวอย่าง

จงหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + … 200

อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series )

ให้ sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต ดังนั้น sn = a1 + a2 + a3 + ... + an


สูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต