คณิตศาสตร์เรื่องเซต -เซตจำกัด และเซตอนันต์ -เลข ม.4

คณิตศาสตร์เรื่องเซต -เซตจำกัด และเซตอนันต์

เซต (SET)
• เซต คือกลุ่มของสมำชิก (element) ของสิ่งที่สนใจ
• ด้วยวงเล็บปีกกำ { } เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต
• เซตในควำมหมำยของค ำว่ำ กลุ่ม หมู่ เหล่ำ กอง ฝูง ชุด
• เพื่ออธิบำยว่ำภำยในเซตประกอบด้วยสมำชิกใดบ้ำง
• สำมำรถเขียนสัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมำชิก หรือไม่เป็นสมำชิก
https://www.picclickimg.com/d/l400/pict/312610426146_/Plastic-3D-Geometric-Solid-Model-Geometry-Educational-Math.jpg
A = {1, 2, 3} จะได้ว่า 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A และ 5 ∉ A

การเขียนเซต

การเขียนเซต
	การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
	1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}
			B = { a, e, i, o, u}
			C = {…,-2,-1,0,1,2,…}
	2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = { x \| x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
			B = { x \| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
			C = {x \| x เป็นจำนวนเต็ม}

	สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
	I^– แทนเซตของจำนวนเต็มลบ	Q^– แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
	I⁺ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก	Q⁺ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
	I แทนเซตของจำนวนเต็ม	Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
	N แทนเซตของจำนวนนับ	R แทนเซตของจำนวนจริง

นิยามของเซตอนันต์

รู้จักเซตจำกัดกันแล้ว มาต่อที่เซตอนันต์ (infinite set) กันได้เลย โดยเซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกได้ หรือเป็นเซตที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน มาดูตัวอย่างของเซตอนันต์กัน

ตัวอย่างที่ 3

C = {c | c เป็นจำนวนจริงที่น้อยกว่า 888 }

จะเห็นว่าเซต C มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วน เพราะรวมทั้งเศษส่วน ทศนิยม และตัวเลขอื่น ๆ ที่เป็นจำนวนจริง และมีค่าน้อยกว่า 999 ดังนั้น เราจึงไม่สามารถนับจำนวนสมาชิก หรือเขียนแจกแจงสมาชิกให้กับเซต C ได้ จะได้ว่าเซต C เป็นเซตอนันต์

ข้อสังเกตเกี่ยวกับเซตจำกัด และเซตอนันต์

1. การมีสัญลักษณ์ … ไม่ได้บอกว่าเซตนั้น ๆ เป็นเซตจำกัด หรือเซตอนันต์

• เซตจำกัด

บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

ตัวอย่างเช่น

A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น

C = {…,-2,-1,0,1,2,…}

• เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

∴ A = B

• เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น

A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø

B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

เซตว่าง
• เซตที่ไม่มีสมำชิก หรือมีจ ำนวนสมำชิกในเซตเป็นศูนย์
• ตัวแปรอำร์เรย์ที่ไม่ได้ก ำหนดค่ำ
• คุณสมบัติของเซตว่ำง เช่น ∅ ⊆ A, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม

U = {…,-2,-1,0,1,2,…}

หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

สมบัติเกี่ยวกับสับเซต