ลำดับและอนุกรมอนันต์ ม.6 คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

ทบทวนลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือ ล ำดับที่เพิ่มหรือลดอย่ำงคงที่ โดยกำรบวก
เรำเรียกค่ำคงที่ ที่น ำมำบวก ว่ำ “ผลต่ำงร่วม” ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ 𝑑
เช่น

5 , 8 , 11 , 14 → 𝑑 = 3

1 , 3 , 5 , 7 → 𝑑 = 2
5 , 3 , 1 , −1 → 𝑑 = −2

5 , 5 , 5 , 5 → 𝑑 = 0

พจน์ทั่วไป   a_n   =  a₁ + (n-1)d
โดยที่            a_n  = พจน์ลำดับที่ n

a₁  = พจน์ลำดับที่ 1
n   = จำนวนพจน์ในลำดับนั้นทั้งหมด
d    = ผลต่างร่วม

ลําดับเลขคณิต 

• ลำดับเลขคณิต : ขวา-ซ้าย คงที่
• พจน์ทั่วไป คือ a₁ + (n-1)d
•  a_m    =  a_n + (m-n)d

เทคนิคการทำโจทย์ เมื่อโจทย์ให้ผลบวกของลำดับเลขคณิตโดย

จำนวนพจน์เป็นเลขคี่
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅
a₁  = x – 2d
a₂  =   x – d
a₃  =  x
a₄   =  x + d
a₅   =  X + 2d

จำนวนพจน์เป็นเลขคู่
a₁ + a₂ + a₃ + a₄
a₁  = x – 3d
a₂  =   x – d
a₃  =  x+d
a₄   =  x + 3d

ตัวอย่างแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

1. ถ้าลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 6 และผลต่างร่วมเป็น 4 จงหาพจน์ที่ 15

วิธีทำ  จากโจทย์ จะได้ a₁  =  6, d = 4

ต้องการหา a₁₅

จากสูตรพจน์ทั่วไป     a_n   =  a₁ + (n-1)d

แทนค่า   a₁  =  6, d = 4, n = 15

ดังนั้น     a₁₅  = 6 + (15-1)(4)  = 62

ตอบ พจน์ที่ 15 คือ 62

2. ลำดับเลขคณิต 16, 3, -10, …., -244 จะมีจำนวนพจน์เท่ากับกี่พจน์

วิธีทำ  จากโจทย์ จะได้   a₁ = 16 , d = -13 ,  a_n = -244 ต้องการหา n

จากสูตรพจน์ทั่วไป      a_n   =  a₁ + (n-1)d

แทนค่า  a₁ = 16 , d = -13 ,  a_n = -244

จะได้                 -244 = 16 + (n-1)(-13)

      -244 = 16 – 13n + 13

n   =   21

ดังนั้นลำดับเลขคณิต  16, 3, -10, …., -244 จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ 21 พจน์

ตอบ  21 พจน์

3.ถ้า 𝑎1,𝑎2,𝑎3,…𝑎100 เป็นลำดับเลขคณิตซึ่ง มี 𝑎1 −𝑎2 +𝑎3 −𝑎4 +…+𝑎99 −𝑎100 = 40

แล้วผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เท่ากับข้อใดเท่าใด [กสพทคณิต2(มี.ค.2561/7)

วิธีทำ

𝑎1 −𝑎2 +𝑎3 −𝑎4 +…+𝑎99 −𝑎100 = 40  (คูณด้วย -1 ทั้งสมการ)

−𝑎1 +𝑎2 −𝑎3 +𝑎4 −…−𝑎99 +𝑎100 = -40

(𝑎2 − 𝑎1) + (𝑎4 − 𝑎3) + … + (𝑎100 − 𝑎99) = -40

𝑑 + 𝑑 +…+ 𝑑  = -40

                                                    50𝑑  = -40  (100พจน์เท่ากับ 50คู่)

                                                         d = -45

ตอบ   d = -45

อนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์  [Infinite Series]
นิยาม   อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัด    ;    a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …
ถ้า

s₁             =             a₁
s₂             =             a₁ + a₂
s₃             =             a₁ + a₂ + a₃

:

:

s_n             =             a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

แล้ว   s_{1 ,} s₂ , s₃ , … , s_n  แต่ละจำนวนเราเรียกว่า “ ผลบวกย่อย “ [ Partial Sum ]  ของอนุกรม  a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …  และ  เรียก  s_{1 ,} s₂ , s₃ , … , s_n ว่า “ ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรม “

ถ้าลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมมีลิมิต  [ lim S_n  =  L ]  แสดงว่า  อนุกรมนี้หาผลบวกได้
ซึ่งผลบวกของอนุกรมอนันต์จะเท่ากับ  L  และเรียกอนุกรมนี้ว่า “ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ “

ถ้าลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมหาลิมิตไม่ได้   แสดงว่า  อนุกรมนี้หาผลบวกไม่ได้
เราเรียกอนุกรมแบบนี้ว่า “ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ “

ข้อสังเกต      ผลบวกอนันต์ของอนุกรม  ก็คือ  ลิมิตของลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นเอง

 การหาผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต

เรียก SnSn ว่า ผลบวกย่อย (partialsum)(partialsum) n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ nn เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียกลำดับอนันต์ S1,S2,S3,⋯,Sn,⋯S1,S2,S3,⋯,Sn,⋯ ว่าลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

ไปดูอีกนิยาม ครับ อ่านนิยามให้เข้าใจแล้วลองทำแบบฝึกหัดครับ

บทนิยาม

กำหนดอนุกรมอนันต์ a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

ให้ S₁ ,S₂ ,⋯,S_n ,⋯S₁ ,S₂ ,⋯,S_n ,⋯ เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลำดับ SnSn เป็นลำดับลู่เข้า โดย limn→∞ S_n =S lim n→∞S_n =S เมื่อ SS เป็นจำนวนจริงแล้วจะกล่าวว่าอนุกรม a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …  เป็นอนุกรมลู่เข้า (covergent  series) และเรียก SS ว่าผลบวกของอนุกรม

ถ้าลำดับ S_n เป็นลำดับลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม  a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)

สรุปนะคับ  จากนิยาม การหาผลบวกของอนุกรมอนันต์สามาทำได้ 2 ขั้นตอนคือ

1. หาสูตรทั่วไปของผลบวกย่อย n  พจน์แรก หรือก็คือ หาสูตรทั่วไปของ S_n  นั่นเองครับ

2   นำค่า S_n  จากข้อ 1. มาหาค่าลิมิต ลิมิตที่ได้นั้นจะเป็นคำตอบของอนุกรมอนันต์  และอนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่เข้า