อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)-คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน

อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของลำดับเรขาคณิต

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

S_n = a₁+ a₁r + a₁r² + … + a₁r^n-2+ a₁r^n-1 — (1)

สมการ (1) คูณ r จะได้

rS_n = a₁r + a₁r²+ a₁r³ + … + a₁r^n-2+ a₁r^n-1 + a₁rⁿ — (2)

(1) – (2) จะได้

S_n – rS_n = a₁– a₁rⁿ

(1 – r)S_n = a₁(1-rⁿ)

อนุกรมเลขคณิต ( Arithmetic Series )

อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลำดับเลขคณิต มีวิธีหาผลบวก n พจน์แรก ดังนี้

กำหนดให้ a₁, a₂, a₃, …, a_nเป็น ลำดับเลขคณิต

เราสามารถหา S_n ได้จาก

S_n= a₁, a₂, a₃, …, a_n

S_n = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (an – d)

S_n = n/2 [ a₁+ a₁ + (n – 1)d ]

ลำดับเรขาคณิต

บทนิยาม ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงที่ และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ”

ถ้า a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_n+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ” (Common ratio)

เขียนแทนด้วย r

การหาพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต

ให้ a₁, a₂, a₃, …, a_n เป็นลำดับเรขาคณิต และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r

จากนิยามจะได้

a₂ ÷ a₁= r >>>> a₂ = a₁r

a₃ ÷ a₂= r >>>> a3 = a2r >>>> a3 = a₁r²

a₄ ÷ a₃= r >>>> a4 = a3r >>>> a4 = a₁r³

สรุป พจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต คือ

a_n = a₁r ^n-1

เมื่อ a_n คือ พจน์ที่ n และ a₁ คือ พจน์แรก

ลำดับเลขคณิต

นิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงที่เสมอ และเรียกค่าคงที่ว่าผลต่างร่วม

(Common difference )

ถ้า a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_n+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้วจะได้ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = a_n+1 – a_n เท่ากับ ค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม เขียนแทนด้วย “ d “

จากบทนิยาม d = a_n+1– a_n

หรือ a_n+1 = a_n + d

ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต

1. ลำดับ 1, 3, 5, …, 99 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2

2. ลำดับ 6, 3, 0, …, -27 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ –3

3. ลำดับ 5, 5, 5, …, 5 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

4. ลำดับ 0, 0, 0, …, 0 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0

จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน และเรียกลำดับนี้ว่า “ ลำดับคงตัว ” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต

กำหนดลำดับเลขคณิต a₁, a₂, a₃ , … ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับและ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตในรูปของ a₁ และ d ดังนี้