พิจารณาลำดับ 4,8,16,32,64, ….. จะเห็นว่าเมื่อนำพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีผลหารเป็นค่าคงตัวเท่ากับ 2 เสมอ
บทนิยาม
ลำดับเรขาคณิต (geometric seuence) คือ ลำดับที่มีผลหารซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว และค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) เขียนแทนอัตราส่วนร่วมนี้ด้วย r
ลำดับเรขาคณิต
เป็นลำดับที่มีอัตราส่วนร่วม (Common Ratio) คงที่ หมายถึง อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n ทุกๆ คู่ จะมีค่าคงที่เสมอ
ถ้ากำหนดให้ r เป็นอัตราส่วนร่วม (Common Ratio)
จะได้ r = (an + 1) / (an)
หรือ an + 1 = an r
ถ้ากำหนดให้ a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม เราจะสามารถเขียนพจน์อื่นๆ ได้ดังนี้
a1 = a1
a2 = a1r
a3 = a2r = (a1r)r = a1r2
a4 = a3r = (a2r)r = (a1rr)r = a1r3
an = an-1r = a1rn-1
ดังนั้น เราจะสามารถหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตได้จาก
an = a1rn-1
เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต
a1 คือ พจน์ที่ 1 ของลำดับเรขาคณิต
r คือ อัตราส่วนร่วม (Common Ratio)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2, 4, 8, …
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 2 r = 2 และพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ an = a1rn-1
แทนค่าที่มี จะได้
an = 2(2)n-1
an = 2(2)n (2)-1
an = 2(2)n / 2
an = 2n
ฉะนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ an = 2n
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์สุดท้ายของลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก เท่ากับ 3 และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2/3 และจำนวนพจน์เท่ากับ 8
วิธีทำ
จากโจทย์ เราจะได้ว่า an = a1rn-1
an = 3(2/3)8-1
an = 3(2/3)7
an = 27/36
an = 128 / 729
ดังนั้น พจน์สุดท้ายของลำดับเรขาคณิต คือ 128 / 729
