สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

สมบัติของจำนวนจริง มีความสำคัญต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนต่างๆในระบบจำนวนจริง การดำเนินการนี้หมายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของจำนวนจริงมีความสำคัญเพราะเป็นพื้นฐานในการศึกษาขั้นสูงต่อไปทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ จำนวนจริงใดๆจะมีสมบัติการเท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัติการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้

1. สมบัติการสะท้อนคือ a = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆย่อมเท่ากับจำนวนจริงจำนวนนั้น เช่น 4 =4 , 6 = 6

2. สมบัติการสมมาตร คือ ถ้า a = b แล้ว b = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆที่เท่ากัน สามารถสลับตำแหน่งกันได้ เช่น a = 6 แล้ว 6 = a หรือ b= -2 และ –2 = b

3. สมบัติการถ่ายทอด คือ ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริง ถ้าจำนวนที่หนึ่งเท่ากับจำนวนที่สองและจำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สามแล้ว จำนวนที่หนึ่งและจำนวนที่สามจะเท่ากันด้วย

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อบวกแต่ละจำนวนด้วยจำนวนที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a + 9 = b + 9

b = c แล้ว b + 1 = c + 1

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a*c = b*c หรือกล่าวได้ว่าถ้าจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อคูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย

1.2.2 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง มีดังนี้

1. สมบัติปิดการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a+b เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น 1 และ 5 เป็นจำนวนจริง 1 + 5 = 6 เป็นจำนวนจริงด้วย

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a เช่น 4 + 5 = 5 + 4 เพราะได้คำตอบเท่ากับ 9 เท่ากัน

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c

4. เอกลักษณ์การบวก เนื่องจากในระบบจำนวนจริง มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ถ้า a เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรืออาจกล่าวได้ว่า 0 เมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น เช่น 4 + 0 = 0 + 4 = 4

5. อินเวอร์สการบวก คือ a + (-a) = (-a) + a = 0 นั่นคือในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี –a เป็นอินเวอร์สการบวก หรืออาจกล่าวได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจะมีจำนวนจริง จำนวนหนึ่งเขียนแทนด้วย –a ที่ทำให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรียก –a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a นั่นคือ ถ้าสองจำนวนบวกกันได้เท่ากับ 0 จะเรียกว่าจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน

1.2.3 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง มีดังนี้

1. สมบัติปิดการคูณ คือ a*b หรือเขียนเป็น ab ได้จำนวนจริงด้วย กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b เป็นจำนวนจริงด้วย

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ คือ a*b = b*a หรือเขียนเป็น ab = ba กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b = b*a

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ คือ a* (b*c) = (a*b)*c a หรือเขียนเป็น (bc) = (ab)c กล่าวคือ ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a* (b*c) = (a*b)*c a

4. เอกลักษณ์การคูณ คือ (1*a) = (a*1) = a ในระบบจำนวนจริง กำหนดให้ 1 เป็นสัญลักษณ์สำหรับการคูณ ถ้า a เป็นจำนวนจริง แล้วจะได้ 1*a = a*1 = a หรือกล่าวได้ว่า 1 เมื่อนำไปคูณกับจำนวนใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น

5. อินเวอร์สการคูณ สำหรับจำนวนจริงใดๆที่ a ≠ 0 แต่ะจำนวนจะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เขียนแทนด้วยว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 จะเรียกจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของกันและกัน

6. สมบัติการแจกแจง

จากที่กล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการคูณของจำนวนจริง จะมีสมบัติ 6 ข้อคือ สมบัติปิดการคูณ สมบัติการสลับที่ของการคูณ สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ เอกลักษณ์การคูณ อินเวอร์สการคูณ สมบัติการแจกแจง ดังกล่าวข้างต้นเพื่อความเข้าใจในเรื่องสมบัติกาารคูณของจำนวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอย่าง

บทสรุป

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ abเป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 • a = a = a • 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a • a-1 = 1 = a • a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca