ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น-ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม ม.4

1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

ในกรณีที่   a = 1   และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว   จะอยู่ในรูป  x²  +  bx  +  c
สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้      โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม

ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากการหาผลคูณ   ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ    x² + 5x + 6

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้
x² + 5x + 6   =  x² + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]

=  x² + (2x + 3x) + (2)(3)

=  (x² + 2x) + [3x + (2)(3)]
=  (x + 2)x + (x + 2)(3)

=  (x + 2)(x + 3)

นั่นคือ     x² + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
=  (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]

=  x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

=  x² + (2+ 3)x + (2)(3)
=  x² + 5x + 6

ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ  x² + 5x + 6  ได้ดังนี้   x² + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3)

ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x²+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  5

(x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
=   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
=   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
=   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
=   x² + (-1)x + (-20)

=   x²  –  x  – 20
ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x² – x – 20   ได้ดังนี้  x² – x – 20   = (x + 4)(x – 5)

จากการหาผลคูณ    (x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ   x²– x – 20

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

x²– x – 20    =   x² + (-1)x + (-20)

=   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)            [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
=   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

=   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

=   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

=   (x + 4)[x + (-5)]

=   (x + 4)(x -5)

นั่นคือ         x² – x – 20   =   (x + 4)(x – 5)

ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x²– x – 20  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  -1

จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น  x²+ 6x + 8
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
เนื่องจาก     x² + 6x + 8  =  x² + (2 + 4)x + (2)(4)

=  x² + (2x + 4x) + (2)(4)

=  (x² + 2x) + [4x + (2)(4)]

=  (x + 2)x + (x + 2)(4)

=  (x + 2)(x + 4)

นั่นคือ     x² + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4)
ในกรณีทั่วไป  เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x² + bx + c  เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม

และ  c ≠ 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  c  และบวกกันได้

เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b

จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x² – 10x + 21

วิธีทำ              เนื่องจาก    (-3)(-7)   =   21
และ            (-3) + (-7)   =   -10

ดังนั้น     x² – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)]

นั่นคือ     x² – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )

ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x² + 5x – 6

วิธีทำ             เนื่องจาก  (-1)(6)   =   – 6
และ            (-1) + (6)   =    5

ดังนั้น       x² + 5x – 6   =   [ x + (-1)][ x + 6 ]

นั่นคือ        x² + 5x – 6   =   ( x – 1 )( x + 6 )

ตัวอย่างที่ 7     จงแยกตัวประกอบของ  x² – 2x – 24
วิธีทำ              เนื่องจาก  (4)(-6)   =   – 24

และ          (4) + (-6)   =    -2

ดังนั้น     x² – 2x – 24   =   ( x + 4 ) [ x + (-6)]
นั่นคือ    x² – 2x – 24    =   ( x + 4 )( x – 6 )

ตัวอย่างที่ 8     จงแยกตัวประกอบของ  x² + 2x + 1

วิธีทำ              เนื่องจาก  (1)(1)   =   1
และ       (1) + (1)    =    2

ดังนั้น  x² + 2x + 1    =   ( x + 1 )( x + 1)
นั่นคือ    x² + 2x + 1    =   ( x + 1 )( x + 1)

ตัวอย่างที่ 9   จงแยกตัวประกอบของ  x² – 4x + 4

วิธีทำ            เนื่องจาก  (-2)(-2)    =   4
และ       (-2) + (-2)    =   -4

ดังนั้น     x² – 4x + 4   =   [ x + (-2)][ x + (-2)]
นั่นคือ     x² – 4x + 4    =   ( x – 2 )( x – 2 )

ตัวอย่างที่ 10   จงแยกตัวประกอบของ  x² – 9

วิธีทำ              เนื่องจาก  (-3)(3)   =   -9

และ        (-3) + 3   =    0

ดังนั้น   x² – 9    =   [ x + (-3)]( x + 3)

นั่นคือ   x² – 9    =   ( x – 3 )( x + 3 )

สำหรับพหุนามดีกรีสอง   เช่น    x² + 3x + 1    เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  1

และบวกกันได้  3  ดังนั้น  เราจึงไม่สามารถเขียนพหุนาม  x² + 3x + 1   ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง

ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม   นั่นคือ   เราไม่สามารถแยกตัวประกอบของ   x² + 3x + 1   ได้
โดยทั่วไปแล้ว  ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม  x² + bx + c   เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม และ

c ≠  0   ถ้าเราไม่สามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับ  c   และบวกกันได้เท่ากับ  b  เราก็ไม่สามารถ

แยกตัวประกอบของ  x² + bx + c  ออกเป็นตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

1.2.3  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป   ax² + bx + c   เมื่อ   a , b , c   เป็นจำนวนเต็ม และ  a  ≠  0 , a  ≠ 1 , c  ≠  0

เพื่อความสะดวกในการหาข้อสรุปของวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนาม   ax²+ bx + c   เราจะเรียก   ax²  ว่า  พจน์หน้า  เรียก  bx ว่า พจน์กลาง และเรียก  c ว่า พจน์หลัง

พิจารณาการคูณพหุนามดีกรีหนึ่งต่อไปนี้โดยใช้สมบัติการแจกแจง

(2x – 3)(3x + 1)   =   (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)
=   (6x² – 9x) + (2x – 3)

=   6x² + (–9x + 2x) – 3
=   6x² – 7x – 3
ดังนั้น  ในการแยกตัวประกอบของ   6x² – 7x – 3    จะทำดังนี้

1.  หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่คูณกันแล้วได้พจน์หน้าคือ  6x²  ซึ่งอาจเป็น  2x  กับ  3x  หรือ  x  กับ  6x  เขียนสองพหุนามนั้นเป็นพจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บสองวงเล็บ  ดังนี้

(2x      )(3x      )  หรือ  (x       )(6x      )

2.  หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลังคือ – 3  ซึ่งอาจเป็น  3  กับ – 1  หรือ – 3  กับ  1  แล้วเขียนจำนวนทั้งสองนี้เป็นพจน์หลังของพหุนามในแต่ละวงเล็บที่ได้ในข้อ 1.  ซึ่งทำให้เกิดกรณีที่

ต้องพิจารณา  8  กรณี  ดังนี้

1).  (2x + 3)(3x – 1)

2).  (2x – 1)(3x + 3)

3).  (2x – 3)(3x + 1)

4).  (2x + 1)(3x – 3)

5).  (x + 3)(6x – 1)

6).  (x – 1)(6x + 3)

7).  (x – 3)(6x + 1)

8).  (x + 1)(6x – 3)

ตัวอย่างที่ 11     จงแยกตัวประกอบของ  8x² – 26x + 15

วิธีทำ       เนื่องจาก   (2x)(4x)    =    8x²  และ  (– 5)(– 3)  =  15

(2x)(–3) + (–5)(4x)    =  –6x + (–20x)    =   –26x

8x² – 26x + 15   =   (2x – 5)(4x – 3)

ตัวอย่างที่ 12     จงแยกตัวประกอบของ  4x² + 13x + 10

วิธีทำ        4x² + 13x + 10   =   (4x + 5)(x + 2)