วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่-คณิตศาสตร์ออนไลน์

วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู่

(Permutation and Combination)

หลักเกี่ยวกับการนับ และ กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

ทบ.เกี่ยวกับการนับ ในการทำกิจการอย่างหนึ่งสามารถแยกออกได้ k ขั้นตอน โดยขั้นตอนที่ 1 เลือกได้ n₁ วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกได้ n₂ วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกได้ n₃ วิธี เป็นเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จนถึงขั้นตอนที่ k ซึ่งทำได้ n_k วิธี ในการทํางานใด ๆ ซึ่งแบ่งเป็น k ขั้นตอน โดยขั้นที่ 1 เลือกทํางานได้ n1 วิธีในแต่ ละวิธีของ
การทํางานในขั้นตอนที่ 1 เลือกทํางานในขั้นตอนที่สองได้ n2 วิธีเป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึงขั้นตอน
ที่ k ซึ่งมีวิธีเลือกทํางานได้ .n_kวิธี ดังนั้นสรุปได้ว่า
จํานวนวิธีทํางาน ทั้ง k ขั้นตอน = n₁ x n₂ x n₃ x … x .n_k วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่เป็นไปได้ = n₁.n₂.n₃…..n_k วิธี

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งซ้ำกันบางส่วน ดังนี้

กลุ่มที่ 1 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n1 สิ่ง

กลุ่มที่ 2 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n2 สิ่ง

กลุ่มที่ 3 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n3 สิ่ง

กลุ่มที่ k มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ nk สิ่ง

เมื่อ n = n1 + n2 + n3 + … + nk

1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง คือ [n! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง โดยจัดทีละ r สิ่ง (r)

3) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง โดยที่ ห.ร.ม. ของ n1, n2, n3, … , nk = 1 คือ

[(n-1)! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

2.การเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งมีบางสิ่งซ้ำกัน มีวิธีการจัดเรียงได้ทั้งหมด = n! วิธี

n₁!n₂!n₃!…..n_k!

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมดมาจัดเรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ

แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ

1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็นวงกลม) เท่ากับ n! วิธี

2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี

เขียนแทนด้วย P(n, r) = n! / (n-r)!

จาก P(n, r) = n! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)

ตัวอย่าง จะมีวิธีการเรียงตัวอักษรในคำว่า MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหม่ทั้งหมดได้ กี่วิธี

วิธีทำ มีตัว S ซ้ำ 4 ตัว มีตัว I ซ้ำ 4 ตัว มีตัว P ซ้ำ 2 ตัว

มีตัว M ซ้ำ 1 ตัว

มีวิธีการเรียงสับเปลี่ยน = 11!

4! 4! 2! 1!

= 11 x 10 x 9 x7 x5

= 34,650 วิธี

3.การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน นำของทั้ง n สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม จำนวนวิธี ที่จะจัดได้ทั้งหมด คือ (n-1)! วิธี

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน เลือกมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมเพียง r สิ่ง (r<n) จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด คือ n! วิธี (n-r)!r

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม เท่ากับ (n-1)! วิธี และมีหลักการจัดเรียงโดยแบ่งตามเงื่อนไขได้ดังนี้

3.1 การจัดสิ่งของ n สิ่ง วึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยไม่มีเงื่อนไข จะจัดได้เท่ากับ (n-1)! วิธี

3.2 การสร้างจุดอ้างอิงบนวงกลมก่อน แล้วแทรกเข้าไป วนเป็นวงกลม โดยที่รู้ว่ามีจุดอ้างอิงก่อนแล้ว

3.3 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยที่มีเงื่อนไขการสับที่ แล้วแทรกอีกฝ่ายหนึ่งเข้าในฝ่ายแรก โดยต้องรู้ว่าการแทรกครั้งนี้มีจุดอ้างอิงแล้ว

3.4 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! . r! วิธี

เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / r = n! / (n-r)! . r!

3.5 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน (แบบสามมิติ)

3.6 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n)

เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / 2r = n! / (n-r)! . 2r!

4.การจัดหมู่( Combination)

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน เราเลือกมา r สิ่ง แบบจัดหมู่ จำนวนวิธีที่เลือกได้คือ

C_n,r = n = n!

r (n-r)!r!

r ที่สุ่มมาได้มีลักษณะคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่าง มีหนังสือที่แตกต่างกัน 5 เล่ม ถ้าอนุญาตให้เด็กยืมได้ 3 เล่ม เด็กคนหนึ่งจะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี

วิธีทำ หนังสือ 3 เล่มที่ยืมมาได้ถือว่ามีลักษณะไม่แตกต่างกันสลับที่กันไม่มีผลดังนั้นใช้ C _5,2 = 5! = 10 วิธี