หลักการในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับ-คณิตศาสตร์ออนไลน์

หลักการในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับ

จากลำดับแบบแจงพจน์ที่กำหนดให้ เราสามารถใช้หลักการในการหาได้ ดังนี้
1. เขียนตำแหน่งของลำดับแต่ละค่าไว้
2. หาว่าค่าของลำดับในแต่ละค่ามีการเปลี่ยนแปลงค่าจากค่าตำแหน่งอย่างไร (ซึ่งอาจจะเปลี่ยนแปลงได้หลายแบบ เช่น บวกเพิ่ม ลบออก คูณเข้า หาร ยกกำลังด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่ง)
3. จากรูปแบบการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่ได้ใน (ข้อ 2) ให้เลือกเอารูปแบบการเปลี่ยนแปลงค่าในลักษณะเดียวกัน
4. นำผลที่ได้จาก (ข้อ 3) มาเปลี่ยนค่าตำแหน่งด้วย n จะได้พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 3, 5, 7, 9, 11
จากโจทย์ จะได้
a₁ = 3 = (2 x 1) + 1
a₂ = 5 = (2 x 2) + 1
a₃ = 7 = (2 x 3) + 1
a₄ = 9 = (2 x 4) + 1
a₅ = 11 = (2 x 5) + 1
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ 2n + 1

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 2, 4, 6, 8, 10
จากโจทย์ จะได้
a₁ = 2 = 2 x 1
a₂ = 4 = 2 x 2
a₃ = 6 = 2 x 3
a₄ = 8 = 2 x 4
a₅ = 10 = 2 x 5
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ 2n

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ -1, 2, -3, 4, -5
จากโจทย์ จะได้
a₁ = -1 = 1 x -1 = 1 x (-1)¹
a₂ = 2 = 2 x 1 = 2 x (-1)²
a₃ = -3 = 3 x -1 = 3 x (-1)³
a₄ = 4 = 4 x 1 = 4 x (-1)⁴
a₅ = -5 = 5 x = -1 = 5 x (-1)⁵
ดังนั้น อนุกรมนี้จะมีพจน์ทั่วไป คือ n x (-1)ⁿ

ลำดับเลขคณิต

^{ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เป็นผลต่างนี้ว่า ผลต่างร่วม}

สูตรของลำดับเลขคณิต

^{a₁, a₁ + d, a₁ + 2d +, …, a_n + (n – 1)d, …}

สูตรพจน์ทั่วไป คือ
a_n = a₁ + (n – 1)d
d = a_n + a_n-1

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

^{1, 2, 3, 4, 5, 6, … ดังนั้นลำดับนี้ d = 1
1, 3, 5, 7, 9, … ดังนั้นลำดับนี้ d = 2}

ลำดับเรขาคณิต

^{ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับซึ่งมีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เป็นอัตราส่วนนี้ว่า อัตราส่วนร่วม}

สูตรของลำดับเรขาคณิต

^{a₁, a₁r, a₁r2, a₁r3, …, a₁rn – 1}

สูตรพจน์ทั่วไป คือ
a_n = a₁rn-1
r = a_n / a_n-1

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต

^{1, 2, 4, 8, 16, … ดังนั้นลำดับเรขาคณิตนี้มี r = 2
1, 3, 9, 27, … ดังนั้นลำดับเรขาคณิตนี้มี r = 3}

อนุกรมเลขคณิต

^{อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลำดับเลขคณิต อนุกรมมี 2 ชนิด คือ}

1. อนุกรมจำกัด คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัด
ถ้า a₁, a₂, … a_n เป็นลำดับจำกัด ดังนั้น a₁ + a₂ + … a_n เป็นอนุกรมจำกัด
2. อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์
ถ้า a₁, a₂, … เป็นลำดับอนันต์ ดังนั้น a₁ + a₂ + … เป็นอนุกรมอนันต์

สูตรของอนุกรมเลขคณิต

^{a₁ + [a₁ + d] + [a₁ + 2d] + [a₁ + 3d] + … + [a₁ + (n – 1)d] + …}

สูตรผลบวก n พจน์แรกมี 2 สูตร คือ
S_n = (n/2)[a₁ + a_n]
S_n = (n/2)[2a₁ + (n – 1)d]

อนุกรมเรขาคณิต

^{อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของลำดับเรขาคณิต อนุกรมมี 2 ชนิด คือ}

1. อนุกรมจำกัด คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัด
ถ้า a₁, a₂, … a_n เป็นลำดับจำกัด ดังนั้น a₁ + a₂ + … a_n เป็นอนุกรมจำกัด
2. อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์
ถ้า a₁, a₂, … เป็นลำดับอนันต์ ดังนั้น a₁ + a₂ + … เป็นอนุกรมอนันต์

สูตรของอนุกรมเรขาคณิต

^{a₁ + a₁r + a₁r2 + a₁r3 + … + a₁rn – 1 + …}