ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequences)

ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequences)

นิยาม ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนระหว่างสองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน ตลอด หรือ ลำดับที่เปลี่ยนแปลงไปทีละเท่าตัว (จะกี่เท่าก็ได้ครับ)

นิยาม     ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วม [Common ratio ตัวย่อ r] ระหว่างพจน์ที่ n+1 [a_n+1] กับพจน์ที่ n [a_n]
มีค่าคงที่                 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) คือ อัตราส่วนที่เกิดจากพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน
ของลำดับเรขาคณิต ซึ่งเป็นค่าที่บอกให้รู้ว่าลำดับเรขาคณิตนั้นเปลี่ยนแปลงไปทีละกี่เท่า เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r

ลักษณะการเปลี่ยนแปลงของแต่ละพจน์ จากพจน์หน้าไปเป็นพจน์หลังที่อยู่ติดกัน พจน์ที่อยู่ในตำแหน่งหลัง
จะเกิดจากการ คูณพจน์ข้างหน้าที่อยู่ติดกันด้วยค่า r เป็นเช่นนี้ตลอดทั้งลำดับ

ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนระหว่างสองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ติดกัน มีค่าเท่ากัน ตลอด หรือ ลำดับที่เปลี่ยนแปลงไปทีละเท่าตัว (จะกี่เท่าก็ได้)

อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) คือ อัตราส่วนที่เกิดจากพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน ของลำดับเรขาคณิต ซึ่งเป็นค่าที่บอกให้รู้ว่าลำดับเรขาคณิตนั้นเปลี่ยนแปลงไปทีละกี่เท่า เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r

การหาพจน์ใด ๆ ของลำดับเรขาคณิต
การหาพจน์ใด ๆ ของลำดับเรขาคณิต หัวใจสำคัญคือ จะต้องทราบ
1.อัตราส่วนร่วม (r)
2.พจน์ใดพจน์หนึ่งอย่างน้อย 1 พจน์ (ในกรณีที่มีหลายพจน์ ให้เลือกที่อยู่ตำแหน่งใกล้กับพจน์ที่ต้องการหามากที่สุด)
3.ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ที่ต้องการหากับพจน์ใดพจน์หนึ่งที่ทราบค่า ซึ่งจะอยู่ในรูปของสูตร

ลำดับเรขาคณิต  [Geometric Sequence Geometric Progression] ตัวย่อ G.S.  หรือ  G.P.

นั้นคือ                r   =   a_n+1                    , r ¹ 0, n ÎI⁺

รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต    คือ       a₁ ,  a₂ ,  a₃ ,  … ,  a₁r^n-1 ,  …
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต  คือ     a_n  =  a₁r^n-1

เช่น          1)            1 ,  3 ,  3² , … , 3^n-1 ,  …

ตัวอย่าง 1              จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขาคณิต  1 ,  2 ,  4 ,  8 ,  …
วิธีทำ

จากโจทย์               a₁  =  1   ,    r  =
เพราะว่า                  a_n             =            a₁r^{n – 1}
a₆            =             (1)(2)^{6 – 1}    =    32

ตัวอย่าง 2              ลำดับเรขาคณิตมี a₁ =  และ a₄ =  จงหา r
วิธีทำ                      a_n            =             a₁r^{n – 1}
a₄            =             a₁r³
ตัวอย่าง 3              ลำดับเรขาคณิตมี a₃ = 12, r = -2 และ a_n = 768 จงหา n
วิธีทำ                                      a_n            =             a₁r^{n – 1}
768         =             a₁(-2)^{n – 1}                                 ……….(1)
a₃            =             a₁r²
12           =             a₁(-2)²
a₁            =             3
แทนค่า a₁ = 3 ใน (1)            768         =             3(-2)^{n – 1}
256         =             (-2)^{n – 1}
(-2)⁸         =             (-2)^{n – 1}
n-1          =             8
n              =             9

ตัวอย่าง 4              กำหนดลำดับเรขาคณิตซึ่งมีพจน์ที่ 4 เท่ากับ -24 และพจน์ที่ 9 เท่ากับ 768 จงหาพจน์ที่ n
วิธีทำ                      a₄  =  -24                ®          a₁r³          =             -24                                          ……….(1)
a₉  =  768               ®          a₁r⁸          =             768                                         ……….(2)
(2) ¸(1)                                                                    r⁵           =             -32          =             (-2)⁵
r             =              -2
แทนค่า r = -2 ใน  (1)                                              a₁          =             3

เพราะฉะนั้น                                                             a_n          =             3(-2)^{n – 1}

ตัวอย่าง 5              ลำดับเรขาคณิต (a₁)(a₂)(a₃)  =  64 และ a₁ = 12  จงหาลำดับเรขาคณิตนี้
วิธีทำ                      (a₁)(a₂)(a₃)             =             64
(a₁)(a₁r)(a₁r²)         =             64
(a₁)³( r³)                  =             64
(a₁r)³                       =             (4)³
a₁r                           =             4
(12)r                       =             4
r                               =
เพราะฉะนั้น           ลำดับเรขาคณิต  คือ  12 ,  4 ,  , …

ข้อสังเกต                                โดยปกติ : พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตจำกัดในรูปของ a₁ และ r    คือ
a₁ ,  a₁r ,  a₁r² ,  … ,  a₁r^{n – 1}
1.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเรขาคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
… ,  a ,   a ,  a ,  ar ,  ar² ,  …

[ โดยเริ่มจากตรงกลางคือ a แล้วขยายไปทั้งด้านซ้ายและด้านขวาที่ละ r ]

2.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเรขาคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคู่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
… ,  a ,   a ,  ar ,  ar³ ,  …

พจน์กลางเรขาคณิตหนึ่งพจน์ระหว่าง a และ b [Geometric Mean] ตัวย่อ G.M.

G.M.   =   ±Öab
หรือ                   G²      =   ab

ตัวอย่าง 7              จงหา G.M. 1 พจน์ระหว่าง 8 และ 18
วิธีทำ

จากสูตร

G²           =             ab

                 =  (8)(18)     =             144

G             =
G             =             ±12

ตัวอย่าง 8              จงหาพจน์กลางเรขาคณิต 4 พจน์ระหว่าง 3 และ 96
วิธีทำ

a₁ = 3 , a₆ = 96
a₆            =             a₁r⁵
96           =             (3)r⁵
r⁵             =             32           =             (2)⁵
r               =             2
เพราะฉะนั้น           พจน์กลาง 4 พจน์ระหว่าง 3 และ 96  คือ 6 , 12 , 24 , 48

ตัวอย่าง 9              จงหา G.M. 3 พจน์ระหว่าง  และ

วิธีทำ                      a₁ =   และ a₅ =
a₅            =             a₁r⁴

เพราะฉะนั้น   พจน์กลาง 3 พจน์เมื่อ    r =     คือ
r = –   คือ

ตัวอย่าง 10            จงหาจำนวนจริงบวก 2 จำนวน ซึ่ง A.M. 1 พจน์เท่ากับ 25 และ G.M. 1 พจน์เท่ากับ 24
วิธีทำ                      ให้เลข 2 จำนวนนั้น คือ a และ b
จาก (1)

a         =   50 – b
แทน a = 50 – b ใน (2)

( 50 – b )( b )         =             576
b² – 50b + 576     =             0
( b – 18 )( b – 32 )    =             0
b             =             18 , 32
a              =             32 , 18
เพราะฉะนั้น           เลข 2 จำนวนนั้น  คือ  32 กับ 18

ความสัมพันธ์ระหว่าง A.M, H.M. และ G.M. 1 พจน์

G²   =   A.M. x H.M.

ตัวอย่าง 11            ถ้า A.M. และ G.M. ระหว่างเลขสองจำนวนจริงบวกเป็น 5 และ 4 แล้ว H.M.1 พจน์ระหว่าง
เลขสองจำนวนนี้เป็นเท่าไร
วิธีทำ

จากสูตร

G²   =   A.M. x H.M.
4²    =   5 x H.M