ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น ม.4

จำนวนจริง , ระบบจำนวนจริง , ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น เวลาสอบ PAT 1 พี่หนึ่งจะรวมให้มันอยู่บทเดียวกันเลย เพราะเนื้อหามันต่อเนื่องกันนะจ๊ะ 🙂 ) น้องๆส่วนใหญ่จะไม่ชอบบทนี้โดยเฉพาะถ้าที่โรงเรียนคุณครูเน้นการพิสูจน์

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่            I – = {…, -4, -3, -2, -1}  เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่           I+ = {1, 2, 3, 4, …} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่                             N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x2 = -1	∴ x = √-1 = i
	x2 = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x2 = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

 

สมบัติของจำนวนจริง

• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1	กฎการตัดออกสำหรับการบวก
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
	ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2	กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
	ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a · 0 = 0
	0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	(-1)a = -a
	a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a(-b) = -ab
	(-a)b = -ab
	(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a- b = a + (-b)
	นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
	= a(b-1)
	นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n“
ตัวอย่างเช่น	x3 – 2x2 + 3x -4 = 0
	4x2 + 4x +1 = 0
	2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
	แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x –เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
	ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
	(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
	(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
	ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
	1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
	f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	2. นำ x – c หรือ x – ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
	จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
	3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.

ตัวประกอบและการหาตัวประกอบ

• จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
• การหารลงตัว คือ การหารที่ไม่มีเศษ หรือเศษเป็น “0”
• ตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ คือ จำนวนนับที่นำไปหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว
• จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 กับจำนวนนับนั้น
• ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ

•  ตัวประกอบ 

  ตัวประกอบของจำนวนเต็มใด ๆ  คือ จำนวนที่หารจำนวนนั้นได้ลงตัว  ถ้าจำนวนที่ 2 หารได้ลงตัว เรียกว่า จำนวนคู่  ส่วนจำนวนที่ 2 หารไม่ลงตัว เรียกว่า จำนวนคี่

  จากที่น้องๆ ได้ศึกษาความหมายของตัวประกอบเมื่อเข้าใจความหมายแล้ว ลำดับต่อไปให้หาจำนวนนับที่หาร 8, 12 และ 20 ลงตัว

  จำนวนที่หาร  8     ได้ลงตัว   ได้แก่   1, 2, 4   และ 8

  จำนวนที่หาร  12   ได้ลงตัว   ได้แก่   1, 2, 3, 4, 6 และ 12

  จำนวนที่หาร  20   ได้ลงตัว   ได้แก่   1, 2, 4, 5, 10   และ 20

  เราเรียก  1, 2, 4  และ 8 ว่า เป็นตัวประกอบของ 8

               1, 2, 3, 4, 6   และ 12  ว่า เป็นตัวประกอบของ 12

               1, 2, 4, 5, 10  และ 20  ว่า เป็นตัวประกอบของ 20

  เมื่อรู้จักตัวประกอบแล้ว เราจะมาทำความรู้จักกับ จำนวนเฉพาะกันค่ะ 

  จำนวนเฉพาะ

  ตัวอย่างที่ 1  จงหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับ 1 – 10

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  1   คือ   1

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  2   คือ   1, 2

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  3   คือ   1, 3

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  4   คือ   1, 2, 4

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  5   คือ   1, 5

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  6   คือ   1, 2, 3, 6

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  7   คือ   1, 7

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  8   คือ   1, 2, 4, 8

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  9   คือ   1, 3, 9

  ตัวประกอบทั้งหมดของ  10 คือ   1, 2, 5, 10       

  ดังนั้นจำนวนนับที่มีค่าอยู่ระหว่าง  1 – 10  ที่เป็นจำนวนเฉพาะได้แก่  2, 3, 5 และ   7

  สรุปได้ว่า จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่มากกว่า 1 ที่มีตัวประกอบสองตัว คือ 1 และตัวมันเอง 

  ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาจำนวนต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เพราะเหตุใด

         1)  2      2) 6      3) 11      4) 15      5)  19      6) 21      7) 31      8) 47      9) 87      10) 97

  1)  2     เป็นจำนวนเฉพาะ        เพราะ  2      มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 2

  2)  6     ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ    เพราะ  6    มีตัวประกอบ   4 ตัว  ได้แก่   1 , 2, 3 และ 6

  3)  11    เป็นจำนวนเฉพาะ       เพราะ  11    มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 11

  4)  15    ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ  เพราะ  15    มีตัวประกอบ   4 ตัว  ได้แก่   1, 3, 5 และ 15

  5)  19    เป็นจำนวนเฉพาะ       เพราะ  19    มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 19

  6)  21    ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ   เพราะ  21  มีตัวประกอบ  4 ตัว  ได้แก่   1 , 3 ,7 และ 21

  7)  31    เป็นจำนวนเฉพาะ        เพราะ  31   มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 31

  8)  47    เป็นจำนวนเฉพาะ         เพราะ  47   มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 47

  9)  87    เป็นจำนวนเฉพาะ        เพราะ  87   มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 87

  10) 97   เป็นจำนวนเฉพาะ        เพราะ  97   มีตัวประกอบ   2 ตัว  ได้แก่   1 และ 97

  จากตัวอย่างข้างต้น ทำให้น้องๆ รู้จักจำนวนเฉพาะ ต่อไปเราจะมาทำความรู้จักกับ ตัวประกอบเฉพาะ กันค่ะ 

  ตัวประกอบเฉพาะ

  ตัวอย่างที่ 3  พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่  เพราะเหตุใด

                1)  12                       2) 23                        3) 28                        4) 41

  วิธีทำ         1)  12  ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ  เพราะ  12  มีตัวประกอบ  6  ตัว ได้แก่  1, 2, 3, 6 และ 12               

  2)  23  เป็นจำนวนเฉพาะ  เพราะ  23  มีตัวประกอบ  2  ตัว ได้แก่  1  และ  23   

  3)  28  ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ  เพราะ  28  มีตัวประกอบ  6  ตัว  ได้แก่   1, 2, 4, 7, 14 และ 28  

  4)  31  เป็นจำนวนเฉพาะ  เพราะ  31  มีตัวประกอบ 2  ตัว ได้แก่  1  และ  31

  ตัวอย่างที่ 4  จงหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนต่อไปนี้

                1)  8         2) 25         3) 54            

            1)   8  มีตัวประกอบทั้งหมด  ได้แก่   1, 2, 4, 8

     ตัวประกอบเฉพาะของ  8 คือ   2

            2)   25 มีตัวประกอบทั้งหมด  ได้แก่  1, 5 และ 25

       ตัวประกอบเฉพาะของ  25 คือ  5

            3)  54  มีตัวประกอบทั้งหมด  ได้แก่  1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 และ 54       

      ตัวประกอบเฉพาะของ  54  คือ  2  และ  3                                               

  สรุปได้ว่า ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ 

  ตัวอย่างที่ 5 จงหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจำนวนต่อไปนี้

  1)  24         2) 35         3) 40         4) 75         5) 80   

       1) 24       มีตัวประกอบ 8 จำนวน   คือ  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12  และ 24

  มีตัวประกอบเฉพาะ  2 จำนวน   คือ  2 และ 3

       2) 35      มีตัวประกอบ 4 จำนวน   คือ  1, 5,  7 และ 35