พื้นฐานคณิต เรื่องเซต (set) ม.4

พื้นฐานคณิต เรื่องเซต (set) ม.4

2.1 เซต

เซต  เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

       เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u

       เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

        สิ่งที่ในเชตเรียกว่า  สมาชิก  ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2  แบบ

   1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก  เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

        เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}

        เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

        {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

        {x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

         ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( … )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

        { 1,2,3,…,10 }  สัญลักษณ์ … แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

        { วันจันทร์, อังคาร, พุธ,…, อาทิตย์ } สัญลักษณ์ … แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต

 สัญลักษณ์แทนเซต 

ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

        A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “  € ”  แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น

A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  1  €A

               3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3€ A

คำว่า “ม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน”  เขียนด้วยสํญลักษณ์  “ € ”  เช่น

               5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A

               7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัอย่างที่ 1   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

                    1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    2.ซตของจำนวนเมลบ

                    3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ           1.ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,…, ลพบุรี }

                    2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ

                    B = {-1,-2,-3,…}

                    3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

                    C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

 

 ตัวอย่างที่ 2   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

                     1. A = {2,4,6,8,10}

                     2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ            1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

                     2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

         A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด

คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

         A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

         B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4

         C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

         A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

         B = {x| x 3,7,11,15,…}

         C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1.            เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2.            การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

3.   เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

       

 

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}

                       ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

คัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

     วิธีทำ      A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

                   จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

                    แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

2.2เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก  จะต้องกำหนดเซตของ  เอกภพสัมพัทธ์  เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า  เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ           U = {ก,ข,ค,…,ฮ}

 

 

ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2  U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ         U = {1,2,3,…}

       ดังนั้น       B = {1,2,3,4}  

2.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ว่า  A     B แต่ B  A

สมบัติของสับเซต

1.            A  A และ   A

2.            ถ้าAB และ BC แล้วAC

3.            ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B

เพาเวอร์เซต

          เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เช่น A= {2,4,6}

จะไดว่า เพาเวอร์เซตของซต A คือ

P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

1.        P(A) และ        P(A)

2.A   P(A) 

3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k  n(P(A))= 2

4.A   B ก็ต่อเมื่อ P(A)      P(B)

5.P(A)   P(B) = P(A   B)

6.P(A)   P(B)    P(A   B)

2.4 ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต

– ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B  หรือทั้งสองเซต

“ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A   B ”

A   B = {x| x   A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}

เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}

จะได้  A    B ={1,3,5,6,9}

– อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B

“ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A    B ”

A    B = {x| x   A และ x   B}

เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}

จะได้   A   B = {2,4}

A   C = {1}

            B   C = {}   

– คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A

“คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”

A = {x| x €  U และ x  €  A }

   เช่น  U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}

จะได้  A = {1,3}

B = {0,2}

– ผลต่างระหว่างเซต  (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B

“ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”

A-B ={x| x €  A และ x €   B}

เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้  A-B = {0,2,4}

B-A = {5,7,9}

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด

จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต  A  ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด  ทำได้โดย

–                   การนับแผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์

–                   การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้