จำนวนจริง ม.4

1 ระบบจำนวนจริง จะกล่าวถึงโครงสร้างของเซตของจำนวนจริง รวมไปถึงสมบัติต่าง ๆ ของจำนวนจริง
2 พหุนามตัวแปรเดียว เป็นการปูพื้นฐานของเรื่องนี้ ซึ่งเราเคยเรียนใน ม.ต้น มาแล้วส่วนหนึ่ง โดยเป็นการดำเนินการของเอกนามที่นำมาประกอบกันเป็นพหุนาม
3 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เมื่อจำนวนจริงสามารถแยกตัวประกอบได้ พหุนามก็สามารถทำได้เช่นกัน ซึ่งจะมีเครื่องมือต่าง ๆ ที่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้
4 สมการพหุนาม เป็นการแก้สมการหาค่าของตัวแปรโดยอาศัยการเท่ากันของจำนวนจริง และมีเรื่องใหม่ซึ่งได้แก่ เศษส่วนของพหุนาม โดยจะมีสมบัติเพิ่มเติมนั่นคือ คำตอบของสมการจะไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์เด็ดขาด
5 อสมการพหุนาม เป็นการแก้สมการหาค่าของตัวแปรโดยอาศัยการไม่เท่ากันของจำนวนจริงและช่วง
6 ค่าสัมบูรณ์ จะกล่าวถึงระยะห่างของจำนวนต่าง ๆ บนเส้นจำนวน รวมไปถึงการแก้สมNM การและอสมการค่าสัมบูรณ์

จำนวนจริง    เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ  ได้แก่

– เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย  I

I = {1,2,3…}

– เซตของจำนวนเต็มลบ  เขียนแทนด้วย  I

– เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I

I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}

– เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน      โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม  และ b = 0

NOTE จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ 1.            จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,–1,2,–2,3,–3,… 2.            จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์  เช่น 3.            จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , –0.17 , 1.508

– เซตของจำนวนอตรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์                                แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้

         ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ

                   = 1.4142135…   มีค่าประมาณ    1.414

                   = 1.4422495…   มีค่าประมาณ    1.442

                   = -0.8660254…  มีค่าประมาณ    –0.866

                   = 3.14159265…  มีค่าประมาณ    3.1416

NOTE    ยูเนียรของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่า  “ เซตของจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  R    จำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ได้จากการแก้สมการ x = -1 ซึ่งบอกไม่ได้ว่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์  จำนวนพวกนี้ไม่ใช่จำนวนจริง    ยูเนียรของเซตของจำนวและเซตจำนวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า “เซตจำนวนเชิงซ้อน”

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

1) สมบัตของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง

         เมื่อ a, b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ

(1)      สมบัติการสะท้อน a = a

(2)      สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b = c

(3)      สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb = c แล้ว a = c

(4)      สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน

                           ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c

(5)      สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน

                            ถ้า  a =  b แล้ว ac = bc

2) สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง

            ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติ	การบวก	การคูณ
ปิด	a+b €   R	ab  €   R
การสลับที่	a+ b = b+a	ab = ba
การเปลี่ยนหมู่	(a+b)+c = a+(b+c)	(ab)= a(bc)
การมีเอกลักษณ์	มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0	มีจำนวนจ1 a = a= a  1 ริงซึ่ง 1 ซึ่ง
	เรียก 0ว่าเอกลักษณ์	เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส	สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a  โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a	เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a   0 จะมีจำนวนจริง a  โดยที่ a a = 1 = a   a  เรียก a  ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงa
การแจกแจง	A(a+b) = ab+ac

ทฤษฎีบท 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก                    เมื่อ a ,b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ (1)      ถ้า a+b = b+c แล้ว a = b (2)       ถ้า a+b = a+c แล้ว b = c

ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ                    เมื่อ a ,b, c เป้นจำนวนจริงใดๆ (1)      ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b (2)      ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบท 3                     เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ  a •  0 = 0

ทฤษฎีบท 4                    เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (–1) a = -a

ทฤษฎีบท 5                    เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ถ้า ab = 0 แล้ว                    a = 0 หรือ  b = 0

ทฤษฎีบท 6                    เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ 1.            a (-b)  = -ab 2.             (-a)b =  -ab 3.            (-a)(-b) =  ab

– การลบและการหารจำนวนจริง

บทนิยาม                    เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ                    a-b = a+(-b)

ทฤษฎีบท 7                    ถ้า a ,b ,c ป็นจำนวนจริงแล้ว                    1. a (b-c)   =  ab – ac 2. (a-b)c    =  ac – bc 3. (-a)(b-c)  =  -ab + ac

บทนิยาม                    เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่  b = 0                                                 = a( b )

ทฤษฎีบท 8                    ถ้า a ≠ 0 จะได้  a  ≠ 0

การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง

        ตัวแปร    :  อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน

        ค่าคงตัว  :  ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2

        นิพจน์    :  ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x  ,x-8 ,

        เอกนาม  :  นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้                 กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y

        พหุนาม :  นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก   นามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5

        ดีกรีของเอกนาม : ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

         พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

– การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0

        ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)

        เช่น  จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12

        จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de

        นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7

                 ซึ่งก็คือ 5 และ 2

                 จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7

                 ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)

NOTE ในกรณีทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0

– การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ  a ≠0 ,c ≠ 0

        เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้

        1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี (2x)(2x)  หรือ (4x)(x)  เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้

                   (2x)(2x) หรือ (4x)(x)

        2) หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้

                   (2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)

                   (2x-1)(2x-1)            (4x-1)(x-1)

3) หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x

             ดังนั้น พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)

– การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

         กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น

                 x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)

                 x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)

         ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้

                 x-2ax+a = (x-a)

                 x+6x+9 = (x+3)

                 x-2ax+a = (x-2)

x-8x+16 = (x-4)

– การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

         พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้

          X+2x-5     =    ( x+2x)-5

                            =   (x+2x+1)-5-1

                            =   (x+1) -6

        ดั้งนั้น   x+2x-5   = (x+1)-6

        จาก     x-a            = (x-a)(x+a)

        จะได้ (x+1)-6     = ((x+1)-  6  )((x+1)+  6  )

การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
         การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว  การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a  b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้

“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”

การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง

–   การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ

เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0

วิธีทำ   แยกตัวประกอบของ x-4x+3

จะได้ (x-3)(x-1)

หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) = 0

โดยหา x ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือ x-1= 0

นั่นคือ                x= 0 หรือ x= 1

ตรวจคำตอบ     โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3

เมื่อแทนค่า x  ด้วย 1 จะได้

                   (1)-4 (1)+3 = 0                ซึ่งเป็นจริง

เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้

                   (3)-4(3)+3 = 0                  ซึ่งเป็นจริง

ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0

NOTE สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ  เมื่อ b -4ac  0 มีคำตอบที่เป็นจำนวน 1 คำตอบ        เมื่อ b -4ac = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง             เมื่อ b -4ac    0

การไม่เท่ากัน

    การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม

      n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,…

      n ≤ 1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,–1 ,–2, …

     n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น … ,– 2 ,–1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,…

เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน

1)  สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง

ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

(1) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a   b และ b   c  แล้ว  a   c

(2) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a    b แล้ว a+c     b  +c

(3) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์

ถ้า a     b และ c      0  แล้ว ac    bc

(5) สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก

 ถ้า a+ b    b+c แล้ว a   b

(6) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac   bc c  และ c    0  แล้ว  a      b

ถ้า ac    bc   และ c     0 แล้ว a    b

สมบัติการคูณด้วยจำนวนลบและการหารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการเปลี่ยปลงไป  ดังนี้

1.          เปลี่นเป็น             เช่น 2      1   คูณด้วย  -1 จะได้ (-1)(2)    (-1)(1)

2.             เปลี่ยเป็น              เช่น ให้ a      10   คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(a)    (-1)(10)

3.           เปลี่ยนเป็น           เช่น ให้ -1     1  คูณด้วย -1  จะได้(-1)(-1)       (-1)(1)

4.           เปลี่ยนเป็น          เช่น ให้  a    5  คูณด้วย  จะได้ (-1)(a)         (-1)(5)

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้สมการตัวแปรเดียว  ให้  a ,b ,c เป็นจำนวนจริง  และ  a    b

        ช่วงเปิด  ( a ,b ) หมายถึง { x| a  <  x      b}

        ช่วงปิด [a, b] หมายถึง {x | a _ x _b }

        ช่วงครึ่งปิด (a ,b] หมายถึง {x | a   x    b}

        ช่วงตครึ่งเปิด [ a, b) หมายถึง {x | a ≤ x   ≤  b}

        ช่วง (a ,b  ) หมายถึง {x | x  > a}

        ช่วง [ a ,   ) หมายถึง {x | x _ a}

        ช่วง (–   ,  a ]หมายถึง {x | x _ a}

        ช่วง (–    , –    ) หมายถึง {x | x      R}

2. การแก้สมการกำลังสองตัวแปร

        เช่น  P(x)     0 , P(x)      0 , P(x)     0  หรือ P(5)     0

        ให้ P (x) = (x-a) (x- b) โดยที่ a

P(x)      0 เมื่อ  x     a เมื่อ  x      b

P(x)      0 เมื่อ a    x       b

P(x)  = 0 เมื่อ x= a หรือ x = b

        เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (–   , a)     (b ,     )

        เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (a , b

ค่าสมบูรณ์ของจำนวนจริง

        ค่าสมบูรณ์ของจำวนจริง a : เมื่อกำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนที่จำนวนจริง a เขียนแทนด้วย |a|

เช่น  |2| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน 2 ซึ่งเท่ากับ 2 หน่วย

                 |-2| หมายถึง ระยะจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน -2 ซึ่งเท่ากับ

        สรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ไดดังนี้

|a|  = a เมื่อ a     0

= a เมื่อ a =  0

=  -a เมื่อ a    0

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

        ให้ x , y เป้นจำนวนจริงใด ๆ

1.            |x| _ 0 เสมอทุกค่าของจำนวนจริง x

2.            |x| = |-x|

3.            x  = |x|

4.            |x|² = |x| = x

5.            |xy| = |x|  |y|

6.            | x| = |x| เมื่อ y = 0

7.            |x+y|  _ |x| + |y|

8.            |x-y| = |y-x|

9.            ถ้า x = y แล้ว |x| = |y|

10.     ถ้า |x| = |y| แล้ว x= y หรือ x-y

11.    ถ้า |x|    |y| แล้ว x   y

12.    ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ

                1)  |x|     a มีความหมายเช่นเดียวกับ – a     x     a

2 ) |x| _  a มีความหมายเช่นเดียวกับ –a  _  x  _  a

3)  |x|      a มีความหมายเช่นเดียวกับ x      -a หรือ x     a

4)  |x|  _ a มีความหมายเช่นเดียวกับ x _ – a หรือ x  _  a