คณิตศาสตร์ ม.1 ระบบจำนวนเต็ม
ระบบจานวนเต็ม
จํานวนเต็ม แบงได้ 3 ประเภท
1. จํานวนเต็มบวก คือ จำนวนที่มีค่ามากกว่าศูนย์ (ฝั่งขวาของเส้นจำนวน)
2. ศูนย์ คือ จำนวนที่ไม่เป็นทั้งบวกและลบ (อยู่ตรงกลางของเส้นจำนวน)
3. จํานวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (ฝั่งซ้ายของเส้นจำนวน)
เส้นจำนวนแสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนเต็ม (หัวลูกศรสามารลากไปได้เรื่อยๆ ไม่มีสิ้นสุด)
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม
จากเส้นจำนวน ยิ่งไปฝั่งขวา ยิ่งมีค่ามาก ยิ่งไปฝั่งซ้ายยิ่งมีค่าน้อย
สัญลักษณ์แทนการเปรียบเทียบมีดังนี้
< เครื่องหมายน้อยกว่า เช่น 1 น้อยกว่า 3 เป็น 1 < 3
= เครื่องหมายเท่ากับ เช่น 1 เท่ากับ x เป็น 1 = x
> เครื่องหมายมากกว่า เช่น -1 มากกว่า -3 เป็น -1 > -3
ค่าสัมบูรณ์ คือ ผลตางของจำนวนนับใดๆ กับ 0 โดยใช้สัญลักษณ์ | | บนจำนวนนั้นๆ
เช่น | 5 | = 5 , | -10 | = 10
การบวกจำนวนเต็ม
– การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าบวก
เช่น 3+ 2 = | 3 | + | 2 | = 3 + 2 = 5
– การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าลบ
เช่น (-3) + (-2) = – [ | 3 | + | 2 | ] = -( 3 + 2 ) = -5
– การบวกจานวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาลบกัน โดยเอาตัวมากกว่าตั้ง ตอบออกมาเป็นบวกหรือลบนั้น ให้เลือกตามตัวมากกว่า
เช่น 3 + (-2) = 1 หรือ (-3) + 2 = -1
อย่างไรก็ดี วิธีที่ผ่านมาดังกล่าว เน้นความจำมากกว่าความเข้าใจ เมื่อบวกลบมากกว่าสองจำนวนขึ้นไปก็อาจเกิดความสับสน จึงแนะนำให้ใช้เส้นจำนวนในการพิจารณาด้วย และให้คิดดูว่า ค่าบวกนั้นจะมีทิศทางไปทางขวา ค่าลบมีทิศทางไปทางซ้าย และจะหักล้างกันเสมอ
จำนวนตรงข้าม คือ จำนวนที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นจำนวน
เช่น
จำนวนตรงข้ามของ 2 คือ -2
จำนวนตรงข้ามของ -5 คือ 5
จำนวนตรงข้ามของ a คือ -a
จำนวนตรงข้ามของ -a คือ a
สามารถอธิบายได้ว่า – (-a) = a
การลบจานวนเต็ม ทําได้โดยเปลี่ยนจากลบเป็นการบวกด้วยจานวนตรงข้าม
เช่น 3 – 2 คือ 3 + (-2) = -6
การคูณจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้
จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก
จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก
จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ
จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ
วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้
(-1) x (-1) = 1
(-1) x (-1) x (-1) = -1
5 x (-3) = 5 x 3 x (-1) >>> มีลบออกมา 1 ตัว ได้ค่าลบ = -15
(-5) x (-3) = 5 x 3 x (-1) x (-1) >>> มีลบออกมา 2 ตัว ได้ค่าบวก = 15
(-5) x (-3) x (-2) = 5 x 3 x 2 x (-1) x (-1) x (-1)>>> มีลบออกมา 3 ตัว ได้ค่าลบ = -30
สรุปคือ นับจำนวนลบที่มี ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ
การหารจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้
จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก
จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก
จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ
จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ
วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้
(-1) ÷ (-1) = 1
สรุปคือ นับจำนวนลบที่มีทั้งฝั่งเศษและส่วน ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ
สมบัติของจำนวนเต็ม
1. สมบัติการสลับที
เมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถสลับที่ได้โดยที่ผลลัพธ์ยังคงเท่าเดิม
นั่นคือ a + b = b + a และ a × b = b × a
เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
เช่น 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1
(-2) × 3 = 3 × (-2) = -6
2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่
เมื่อมีจำนวนเต็มสามจำนวนบวกกันหรือคูณกัน สามารถทำคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้ โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน
นั่นคือ (a + b) + c = a + (b + c) และ (a × b) × c = a × (b × c)
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
เช่น [1 + (2)] + (3) = 1 + [(2) + (3)] = 6
[4 x (2)] x (3) = 4 x [(2) x (3)] = 24
3. สมบัติการแจกแจง
เมื่อมีจำนวนเต็มไปคูณกับในวงเล็บที่มีจำนวนเต็มบวกหรือลบกันอยู่ สามารถที่จะแจกจำนวนเต็มนั้นเข้าไปคูณทุกจำนวนในวงเล็บได้
นั่นคือ a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a)
เช่น (-3) × [5 + 2] = [(-3) × 5] + [(-3) × 2] = -21
สมบัติของ 0 และ 1
สมบัติของศูนย์
1. a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ
2. a × 0 = 0 × a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ
3. 0 ÷ a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0
4. a × b = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0
สมบัติของหนึ่ง
ให้ a แทนจำนวนเต็มใดๆ
1. a × 1 = 1 × a = a
2. a ÷ 1 = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ
การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน
หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้นมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามชนิดของจำนวนที่นำมาบวกกัน
1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 10 + 12 =
ค่าสัมบูรณ์ของ 10 หรือ |10| = 10
ค่าสัมบูรณ์ของ 12 หรือ |12| = 12
ดังนั้น |10| + |12| = 10 + 12 = 22
นั่นคือ 10 + 12 = 22
2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ
หลักการ คือ นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มลบ
ตัวอย่างที่ (-15) + (-20) =
ค่าสัมบูรณ์ของ -15 หรือ |-15| = 15
ค่าสัมบูรณ์ของ -20 หรือ |-20| = 20
ดังนั้น |15| + |20| = 15 + 20 = 35
แต่ผลลัพธ์ที่ได้ต้องเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35
สรุป
1. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มบวก
2. การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ คือ การนำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ
การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน
หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองนั้นมาลบกันและผล ลัพธ์จะเป็น จำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มาก
ตัวอย่างที่ -9 + 5 =
ค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือ |-9| = 9
ค่าสัมบูรณ์ของ 5 หรือ |5| = 5
นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า
จะได้ |-9| – |5| = 9 – 5= 4
ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนเต็มลบ
ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ดังนั้น (-9) + 5 = -4
สรุป การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน คือการนำเอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง
แล้วลบส่วนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือจำนวนเต็มลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
