ตรรกศาสตร์ หมายถึง
ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดถือเป็นสาระสำคัญ ข้อความหรือการให้เหตุผลในชีวิตประจำวันสามารถสร้างเป็นรูปแบบที่ชัดเจนจน ใช้ประโยชน์ในการสรุปความ ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนงต่าง ๆ และการประยุกต์
“ประพจน์” คือ ประโยคหรือข้อความบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ข้อความที่อยู่ในรูปของคำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา
สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิดเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์
ประโยคที่มีความจริงไม่แน่นอน ไม่สามารถระบุว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์
ข้อความบอกเล่าที่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์
เราเรียกมันว่า “ประโยคเปิด”
ประพจน์และการเชื่อมประพจน์ – ประพจน์ (Propositions หรือ Statements)
ระพจน์ คือประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกล่าวจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์
| ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย 9  317+8 25 เป็นจำนวนตรรกยะเซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต |
(จริง) (จริง) (จริง) (เท็จ) (เท็จ) (จริง) |
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
| ฝนตกหรือเปล่า อย่าเดินลัดสนาม ช่วยด้วย กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย ได้โปรดเถิด น่ากลัวจริง ออกไปให้พ้น โปรดให้อภัยในความไม่สะดวก อยากไปเที่ยวเหลือเกิน |
(คำถาม) (ห้าม) (ขอร้อง) (ขอร้อง) (อ้อนวอน) (อุทาน) (คำสั่ง) (ขอร้อง) (ปราถนา) |
การเชื่อมประพจน์
กำหนดให้ p, q, r, … แทนประพจน์ และให้ T แทนค่าความจริง ที่เป็นจริง และ F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมจะเรียกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ
ใช้สัญลักษณ์
แทน ตัวเชื่อม “และ”
แทน ตัวเชื่อม “หรือ”
แทน ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”
แทน ตัวเชื่อม “…ก็ต่อเมื่อ…”
~ แทน นิเสธ
(1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”
พิจารณาประพจน์ 1+2 = 2+1
3 x 2 = 2×3
เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “และ” จะได้ประพจน์ใหม่ คือ
1+2 = 2+1 และ 3×2 = 2×3
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “และ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่ที่เป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นเท็จทุกกรณี
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อม p กับ q ด้วย “และ” คือ “p และ q “ เขียนแทนด้วย p ∧ q และตารางค่าความจริง (truth table) ของ p ∧ q เขียนได้ดังต่อไปนี้
จากตารางค่าความจริงข้างต้น เมื่อต้องการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “และ” ก็เพียงแต่ใช้ความรู้คณิตศาสตร์ พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่นำมาเชื่อมว่าตรงกับกรณีใด เช่น
ต้องการหาค่าความจริงของ 3 Î {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจำนวนคี่
จะต้องพิจารณาค่าความจริงของ “3 Î {1, 3, 5, …}” และ “3 เป็นจำนวนคี่” ซึ่งเห็นได้ไม่ยากว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ ฉะนั้น ค่าความจริงของ 3 Î {1, 3, 5, …} และ 3 เป็นจำนวนคี่ คือ จริง
ในทำนองเดียวกัน ค่าความจริงของ เป็นจำนวนจริง และ เป็นจำนวนตรรกยะ คือ เท็จ เพราะประพจน์ เป็นจำนวนตรรกยะ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
(2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”
พิจารณาประพจน์ 1+5 = 5+1
4(2+3) = (4×2)+(4×3)
เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “หรือ” จะได้ประพจน์ใหม่คือ
1+5 = 5+1 หรือ 4(2+3) = (4×2)+(4×3)
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเป็นเท็จทั้งคู่ กรณีอื่นๆเป็นจริงทุกกรณี
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมด้วย “หรือ” คือ “p หรือ q” เขียนแทนด้วย pVq และตารางค่าความจริงของ pVq เขียนได้ดังนี้
1) “ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ เป็นจำนวนเต็ม” มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะและไม่ใช่จำนวนเต็มจากตารางสรุปได้ว่า
2) “2 เป็นจำนวนคู่ หรือ เป็นจำนวนคี่” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะค่าความจริงของ “2 เป็นจำนวนคู่” คือ จริง
หมายเหตุ ความหมายของคำว่า “หรือ” ที่ใช้โดยทั่วไปมีสองกรณี
กรณีที่ 1 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น ในการโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญต่ละครั้งเหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว
กรณีที่ 2 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นักเรียนที่ได้รับรางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียงอย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียวแต่บางคนอาจมีคุณสมบัติทั้งสองประการก็ได้
ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรือ” หมายถึงกรณีที่ 2 เว้นแต่ว่าจะรพบุไว้อย่างชัดเจนให้หมายถึงกรณีที่
(3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”
พิจารณาประพจน์ 2+3 = 3+2
6(2+3) = 6(3+2)
เมื่อเชื่อมด้วย “ถ้า…แล้ว…” ประพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้น คือ
หมายเหตุ 1. เรียกประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมต่างๆว่า ประพจน์ย่อย (atomic statement)
- ตัวเชื่อมต่างๆ ที่กล่าวมานอกจากใช้เชื่อมในการเขียนเป็นสัญลักษณ์ในคณิตศาสตร์ด้วย เช่น
2.1 ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือทั้งสองเซต เขียนแทนด้วย A B = { x | x A V x B }
2.2 อินเตอร์เซกชันของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A และของเซต B เขียนแทนด้วย A B = {x x A ^ x B }
2.3 ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 เขียนเป็น ab = 0 (a = 0 V b = 0 )
