ตัวประกอบจำนวนเฉพาะ (Prime Number)

จำนวนเฉพาะ (Prime Number)

คือ จำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ ตัว 1 และตัวมันเอง
จำนวนเฉพาะ 1-100 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

ตัวประกอบ

ตัวประกอบของเลขจำนวนใด คือ จำนวนเลขที่สามารถนำไปหารเลขจำนวนนั้นๆได้ลงตัว
เช่น 2 และ 5 เป็นตัวประกอบของ 10 เพราะ 2 และ 5 หาร 10 ลงตัว
เช่น 3 และ 7 เป็นตัวประกอบของ 21 เพราะ 3 และ 7 หาร 21 ลงตัว
เช่น 2, 3 และ 5 เป็นตัวประกอบของ 30 เพราะ 2, 3 และ 5 หาร 30 ลงตัว

การแยกตัวประกอบ

แยก Factor Tree

แยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

x⁶ – y⁶

วิธีทำ

x⁶ – y⁶ = (x³)² + (y³)²

= ( x³+ y³)( x³– y³)

= (x+ y)(x²–xy+ y²)(x – y)(x²+xy+ y²)

ดังนั้น x⁶ – y⁶ แยกตัวประกอบได้เป็น (x+ y)(x²–xy+ y²)(x – y)(x²+xy+ y²)

ตอบ (x+ y)(x²–xy+ y²)(x – y)(x²+xy+ y²)

แยกจากตัวคูณ

การหา ค.ร.น. ทั้งหมด 3 วิธี ดังนี้

การหา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณร่วม
การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ
การหา ค.ร.น. โดยการหาร (หารสั้น)

ก่อนอื่นที่จะไปเรียนรู้วิธี การหา ค.ร.น. ทั้ง 3 แบบนั้น น้องๆมาทำความรู้จักกับตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) กันก่อนนะคะ

ตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น

ก่อนที่จะไปเรียนรู้วิธี การหา ค.ร.น. วิธีแรกนั้น น้องๆจำเป็นต้องศึกษาและแยกแยะความแตกต่างระหว่างการหาตัวประกอบและพหุคูณของจำนวนนับใดๆ

น้องๆ ลองท่องสูตรคูณแม่ 2 หน่อยค่ะ จะได้ ตัวเลขที่เรียงกันในรูปแบบด้านล่าง

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , …

สังเกตได้ว่าจำนวนซึ่งเป็นสูตรคูณของแม่ 2 แต่ละจำนวนนั้น คือ พหุคูณของ 2 และเขียนว่า “ พหุคูณของ 2 ” ดังนี้

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , … เป็นพหุคูณของ 2

สังเกตพหุคูณของ 2 ว่าจำนวนใดที่สามารถหารทุกจำนวนได้ลงตัว จะได้ว่า 2 เป็นจำนวนที่หารพหุคูณของ 2 ได้ลงตัวทุกจำนวน สรุปได้ว่า พหูคูณของ 2 คือ จำนวนที่มี 2 เป็นตัวประกอบ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าท่องสูตรคูณแม่ 3 และ 4 สังเกตว่ามีลักษณะเดียวกันกับสูตรคูณของแม่ 2

3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 … เป็นพหุคูณของ 3

4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 … เป็นพหุคูณของ 4

แยกด้วยการหารสั้น

สำหรับการแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ นั้น หมายถึง ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของตัตวประกอบเฉพาะ ซึ่งมีวิธีการแยกตัวประกอบอย่างน้อย 3 วิธี ดังนี้
1. การแยกตัวประกอบ โดยการพิจารณาตัวประกอบเฉพาะ
2. การแยกตัวประกอบ โดยการตั้งหาร
3. การแยกตัวประกอบ โดยการเขียนแผนภาพ

เราไปดูการแยกตัวประกอบโดยวิธีการตั้งหารกันเลย

หลักการ
1. นำจำนวนนับที่ต้องการแยกตัวประกอบมาเขียนภายใต้เครื่องหมายหาร
2. ในแต่ละขั้นตอนของการหารนั้น จะต้องเลือกตัวหารโดยเลือกจากตัวประกอบเฉพาะที่สามารถหารจำนวนนับ
3. นำตัวหารที่ได้จากข้อ 2 มาหารจำนวนนับที่ต้องการแยกตัวประกอบ
4. หารต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่มีตัวประกอบเฉพาะที่สามารถหารตัวนับได้ลงตัวอีก
5. พิจารณาตัวประกอบเฉพาะที่นำมาหารทั้งหมดในแต่ละขั้นตอน และตัวประกอบเฉพาะผลหารในขั้นตอนสุดท้าย
6. การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ ก็คือประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะที่นำมาหารทั้งหมดในแต่ละขั้นตอนและตัวประกอบเฉพาะที่เป็นผลหารที่เป็นผลหารในขั้นตอนสุดท้าย

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบของ 12 โดยวิธีตั้งหาร
1 นำ 12 มาเป็นตั้งตั้ง
2. เลือกตัวประกอบเฉพาะที่หาร 12 ได้ ซึ่งในที่นี้ก็คือ 2
3. นำ 12 ÷ 2 = 6
4. ให้หารต่อไปเรื่อย ๆ จะได้ 6 ÷ 2 = 3
5 ให้พิจารณาตัวสีประกอบเฉพาะ ซึ่งในที่นี้ก็คือตัวที่มีสีแดง ๆ
6. จะได้ตัวประกอบของ 12 ก็คือ 2 x 2 x 3

จำนวนเฉพาะ (Prime Number)

จำนวนเฉพาะ(prime number) คือ จำนวนที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัวได้แก่ 1 และตัวเองเท่านั้น เรียกว่า จำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างจำนวนเฉพาะ
2 แยกตัวประกอบได้ 1, 2        ดังนั้น 2    เป็นจำนวนเฉพาะ
3 แยกตัวประกอบได้ 1, 3        ดังนั้น 3    เป็นจำนวนเฉพาะ
4 แยกตัวประกอบได้ 1, 2, 4    ดังนั้น 4    ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
5 แยกตัวประกอบได้ 1, 5        ดังนั้น 5     เป็นจำนวนเฉพาะ
6 แยกตัวประกอบได้ 1, 2, 3, 6 ดังนั้น 6    ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
7 แยกตัวประกอบได้ 1, 7        ดังนั้น 7    เป็นจำนวนเฉพาะ
ข้อสังเกต 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

“จำนวนเฉพาะ” หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างจำนวนเฉพาะที่เรานำมาฝาก มีดังนี้

จํานวนเฉพาะ 1-100 มีทั้งหมด 25 ตัว ดังนี้

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

จํานวนเฉพาะ 1-200 มีทั้งหมด 46 ตัว ดังนี้

จํานวนเฉพาะ 1-1000 มีทั้งหมด 168 ตัว ดังนี้

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

วิธีการหาจำนวนเฉพาะ

สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

– สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

– จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

– ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

– นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

– โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

– สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n