“ตรรกศาสตร์เบื้องต้น” เล่มนี้ อธิบายเนื้อหาเกี่ยวกับการศึกษารูปแบบและกฏเกณฑ์ของวิธีการอ้างเหตุผลแบบนิรนัยและอุปนัย รวมทั้งลักษณะของการอ้างเหตุผลบกพร่อง เพื่อวิเคราะห์ตรวจสอบหารูปแบบความสมเหตุสมผล และความน่าจะเป็นของข้ออ้างและการสรุป เพื่อนำมาประเมินค่าความถูกผิด และความน่าเชื่อถือของการใช้เหตุผลของมนุษย์ ที่ได้อ้างเหตุผลโดยการแสดงความคิดออกมาเป็นข้อเท็จจริง ในรูปแบบของภาษาทั่วไปที่ใช้สื่อสารในชีวิตประจำวัน และได้มีวิวัฒนาการต่อเนื่องมานับแต่ยุคประวัติศาตร์โบราณมาจนถึงยุคปัจจุบัน
ในคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 เรื่อง “ตรรกศาสตร์” มีความสำคัญเป็นอย่างยิ่งที่น้องๆจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และปูพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อเตรียมความพร้อมในการรับมือกับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย และใช้ในการทำข้อสอบที่มีความหลากหลายและโจทย์ที่ประยุกต์หลายๆ บทเรียนเข้าไว้ด้วยกัน เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจ โดยมี “ตรรกศาสตร์” เป็นส่วนหนึ่งของชุดความรู้สำคัญที่จำเป็นต้องนำไปประยุกต์ได้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ต่อไป ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ มีเนื้อหาต้องต้องเรียนรู้
บทที่ 1 ตรรกศาสตร์ (Logic)
บทที่ 2 ความคิด (Thought)
บทที่ 3 เทอม (Terms)
บทที่ 4 การนิยาม (Definition)
บทที่ 5 ประพจน์ (Proposition)
บทที่ 6 การใช้เหตุผล (Reasoning)
บทที่ 7 ตรรกศาสตร์นิรภัย (Deducative Logic)
บทที่ 8 เหตุผลย่อ (Enthymeme)
บทที่ 9 โซริเตส (Sorites)
บทที่ 10 อุภยสัตย์ (Dilemma)
บทที่ 11 ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ (Symbolic Logic)
บทที่ 12 ตรรกศาสตร์อุปนัย (Inductive Logic)
บทที่ 13 การอ้างเหตุผลบกพร่อง (Fallacy)
ตรรกศาสตร์
(Logic)
• ตรรกศาสตร์ก็คือวิชาที่วาด่วยการให ้ เหตุ ุผล
• เราจาเปํนจะตองสร้างความชดเจนให ั ก้บโครงสร้างของขอความหรือขอโต้แย้ง โดย
ขอความหรือขอโต้ แย้งหนึ่งๆจะประกอบไปดวยประพจน ้
ตรรกศาสตร์ (Logic)
• การหาเหตุและผลด้วยวิธีการต่างๆ อย่างมีรูปแบบและระบบที่ชัดเจน
• การพิสูจน์จากข้อเท็จจริงที่เกิดจริง
• การคิดหาเหตุผลถูกน ามาใช้ควบคุมการท างานของคอมพิวเตอร์
• การจัดเก็บข้อมูลต่าง ๆ ด้วยเลขฐานสองในแต่ละบิต (bit) ข้อความ (string)
• การใช้ตัวเชื่อมทางตรรกะที่มีความยาวบิตเท่ากัน
• การน ามาใช้ค้นหาข้อมูลด้วยค าค้นหรือเชื่อมโยงค า
• การออกแบบวงจรดิจิตอล
การคิดแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพคือ “การคิดเชิงตรรกะ (Logical Thinking)” เนื่องจากเหตุผล 9 ข้อ ดังนี้
- การคิดเชิงตรรกะให้ความสำคัญกับการมองภาพรวมของปัญหา (Big Picture)
- การคิดเชิงตรรกะมุ่งเน้นการกำหนด Framework ในการแก้ปัญหา
- การคิดเชิงตรรกะมีการกำหนดเป้าหมายที่ต้องการบรรลุอย่างชัดเจน (Goal)
- การคิดเชิงตรรกะแสดงลำดับขั้นตอนของความเป็นเหตุและผล (Cause and Effect)
- การคิดเชิงตรรกะวิเคราะห์ผลกระทบที่เกิดขึ้นเพื่อหาทางป้องกัน
- การคิดเชิงตรรกะประเมินอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้นเพื่อหาทางหลีกเลี่ยง
- การคิดเชิงตรรกะหลีกเลี่ยงการแก้ปัญหาเฉพาะหน้า
- การคิดเชิงตรรกะเน้นการจัดลำดับแก้ปัญหากับสิ่งที่ให้ผลผลัพธ์สูง
- การคิดเชิงตรรกะเน้นการแสวงหาความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหา
การคิดเชิงตรรกะ (Logical Thinking) ให้ความสำคัญกับการวิเคราะห์หาเหตุผลแท้จริงของความสำเร็จและล้มเหลว แสดงลำดับขั้นตอนของเรื่องราวอย่างชัดเจน และอื่น ๆ ดังกล่าวข้างต้น เพื่อนำไปสู่การตัดสินใจเลือกวิธีแก้ปัญหาในทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด อาจกล่าวได้ว่าการคิดเชิงตรรกะคือ “การตัดสินใจแบบมีเหตุผลรองรับ” ดังนั้นความคิดเชิงตรรกะถือว่าเป็นกระบวนการสร้างนิสัยการแก้ไขปัญหาอย่างเป็นระบบ การตัดสินใจใช้เหตุผลมากกว่าอารมณ์ และหลีกเลี่ยงการคิดแก้ปัญหาที่ยึดติดกับกรอบความคิดเดิม
การดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์
การเชื่อมโยงระหว่างประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไปแล้วทำให้เกิดประพจน์ใหม่ เราเรียกการเชื่อมโยงนี้ว่าการดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ ตัวดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ประกอบด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า-แล้ว” และ“ก็ต่อเมื่อ” นอกจากนี้ยังมีตัวดำเนินการนิเสธซึ่งไม่ได้ทำหน้าที่เชื่อมประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไป แต่ใช้สร้างประพจน์ที่มีความจริงตรงกันช้ามกับประพจน์หนึ่ง
ตัวดำเนินการนิเสธ
ดังที่กล่าวมาในข้างต้นการดำเนินการนิเสธจะทำให้ได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์เดิมด้วยการเพิ่มคำว่า “ไม่” ลงในประพจน์ตั้งต้นนั้นคือถ้าเรากำหนดให้ P เป็นประพจน์แล้วนิเสธของ P เขียนแทนด้วย “P’” จะได้ว่า
กรณีที่ 1 ประพจน์ P มีค่าความจริง ( T ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( F )
กรณีที่ 2 ประพจน์ P มีค่าความเท็จ ( F ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ( T )
ตัวอย่างเช่น ให้ P := 78 > 60 มีค่าความจริงเป็นจริงดังนั้น P’ := “78 ไม่มาก 60”หรือ “78 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 60” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ในทำนองเดียวกันถ้าให้ P := 78 < 60 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วประพจน์ P’ := “78 ไม่น้อยกว่า 60” หรือ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” จะค่าความจริงเป็นจริง
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการหรือ
ในตัวอย่างข้างต้นเราจะพบการใช้คำว่าหรือเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์คือข้อความ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์คือ “78 มากกว่า 60” กับ “78 เท่ากับ 60” เชื่อมกันด้วยคำว่าหรือ มีค่าความจริงเป็นจริงและเป็นเท็จตามลำดับ สังเกตว่าเมื่อเชื่อมกันด้วยคำว่าหรือแล้วประพจน์ดังกล่าวความมีค่าความจริงเป็นจริง นั้นแสดงว่าประพจน์ที่มีใช้คำเชื่อมหรือหากมีประพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริงแล้วประพจน์ดังกล่าวจะเป็นจริงด้วย กล่าวได้อีกว่าคำเชื่อมหรือนั้นเป็นคำเชื่อมเผื่อเลือก เมื่อกำหนดให้ P และ Q เป็นประพจน์ P หรือ Q จะเป็นเท็จ เมื่อ P เป็นเท็จ และ Q เป็นเท็จ
ข้อควรระวังการตีความคำว่าหรือ ในทางภาษานั้น หรือ อาจให้ความหมายอีกนัยยะคือ หรือ แบบให้เลือกอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นจำนวนเต็มใด ๆเป็นจำนวนคี่ หรือ จำนวนคู่ ซึ่งจะเห็นว่าประพจน์ย่อยจะเป็นจริงทั้งคู่ไม่ได้ แต่ในทางตรรกศาสตร์ถ้า P เป็นจริงและ Q เป็นจริง P หรือ Q เป็นจริง
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการ
สมมติให้ P := “10 < 25” และ Q := “10 > 5” จะเห็นว่าต่างมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ พิจารณาข้อความ P และ Q := “10 < 25 และ 10 > 5” อาจเขียนได้เป็น “5 < 10 <25 “ ซึ่งเป็นจริง แต่หากมีประพจน์ย่อยประพจน์หนึ่งเป็นเท็จจะทำให้ประพจน์ที่เชื่อมด้วยคำว่าและเป็นเท็จทันที นั้นคือประพจน์ P และ Q จะเป็นจริง เมื่อ P เป็นจริง และ Q เป็นจริง
การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการถ้าแล้ว
รูปแบบการเชื่อมที่สาม เป็นการเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ในรูปของการแจงเหตุสู่ผลโดยจะมีประพจน์หนึ่งเป็นเหตุสมมติให้แทนด้วย P และอีกประพจน์หนึ่งเป็นผลแทนด้วย Q ข้อความแจงเหตุสู่ผลจะเขียนในรูปของ “ถ้า P แล้ว Q” เราจะยกตัวอย่างด้วยข้อความที่เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าเรานำสองไปหารจำนวนนับใด ๆได้ลงตัวจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนคู่ เราจะพิจารณาค่าความจริงกรณีที่ P และ Q ถูกเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”ดังนี้
กรณีที่ 1 กรณีที่ประพจน์ของเหตุและผลเป็นจริงทั้งคู่
กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ลงตัว และ Q := 10 เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่า ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวแล้ว 10 เป็นจำนวนคู่เป็นจริง
กรณีที่ 2 กรณีที่ประพจน์ของเหตุเป็นจริงแต่ประพจน์ของผลเป็นเท็จ
กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ลงตัว และ Q := 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่า ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวแล้ว 10 เป็นไม่จำนวนคู่เป็นเท็จ
สำหรับอีก 2 กรณีที่เหลือมักจะความสับสนให้กับผู้ที่ศึกษาตรรกศาสตร์คือกรณีที่ประพจน์ของเหตุเป็นเท็จ
กรณีที่ 3 กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว และ Q := 10 เป็นจำนวนคู่ พิจารณา ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวไม่ลงตัว แล้ว 10 เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่าไม่ว่า 10 จะหารสองลงตัวหรือไม่ก็ตาม 10 ยังคงเป็นจำนวนคู่อย่างแน่นอนนั้นคือหากค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นผลเป็นจริงแล้วประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว” เป็นจริงเสมอ
กรณีที่ 4 กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว และ Q := 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ พิจารณา ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวไม่ลงตัว แล้ว 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ข้อนี้เป็นจริง เนื่องจากประพจน์เหตุที่เป็นเท็จย่อมนำมาซึ่งการผลที่เป็นเท็จ ดังนั้นการที่เชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว” เมื่อประพจน์ของเหตุและผลเป็นเท็จทั้งคู่ย่อมเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
จากทั้งสี่กรณีประพจน์ที่มีคำเชื่อม “ถ้า-แล้ว” จะเป็นเท็จเมื่อ ประพจน์ของเหตุเป็นจริงแต่ประพจน์ของผลเป็นเท็จ
โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ
ตัวอย่างที่ 1 เหตุ 1 : คนทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา
เหตุ 2 : ตำรวจทุกคนเป็นคน
ผลสรุป ตำรวจทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา
การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล
ตัวอย่างที่ 1 เหตุ : จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
1 เป็นจำนวนอตรรยะ
ผล : 1 เป็นจำนวนจริง
พจน์กลาง คือ จำนวนอตรรกยะ กระจายในข้อตั้งแรก ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล
ชาวปากเซเป็นคนยิ้มแย้มแจ่มใส
ผล : ชาวปากเซเป็นคนไทย
พจน์กลาง คือ คนยิ้มแย้มแจ่มใส เป็นพจน์ไม่กระจาย ตรรกบทดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล
