ความน่าจะเป็นและกฏที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม ( Random experiment) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

แซมเปิลสเปซ ( Sample space) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} เมื่อ (H, T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย

ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {0, 1, 2}

เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)

1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)

2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน

เหตุการณ์ ( Event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์

คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน E เป็นสับเซตของ S

ให้ P (E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A, B และ C

S = {AB, BA, AC, CA, BC, CB}

E = { AB , AC }

กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปซ สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

1. 0 P (A) 1

2. ถ้า A = { } แล้ว P (A) = 0 นั่นคือ P ( { } ) = 0

3. ถ้า A = S แล้ว P (A) = 1 นั่นคือ P(S) = 1

สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ

1. P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩B)

2. P (A U B) = P (A) + P (B) เมื่อ A ∩B = { }

3. P (A) = 1 – P (A^‘)

4. P (A-B) = P (A) – P (A∩B)

ตัวอย่าง กำหนดให้ P (A) = 0.6 P (B^‘) = 0.4 และ P (A – B) = 0.2 จงหา P (A ^‘ ∩B^‘)

จาก P (B’) = 0.4
จะได้ว่า P (B) = 1 – P (B^‘) = 1 – 0.4 = 0.6

จาก P (A) = 0.6 และ P (A – B) = 0.2

เนื่องจาก P (A) = P (A – B) + P (A ∩B)

(ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู)

0.6 = 0.2 + P (A ∩ B)

P (A ∩B) = 0.4

เนื่องจาก P (A^‘ ∩ B^‘) = P (A U B)^‘

= 1 – P (A U B)

จากสมบัติความน่าจะเป็น P (A^‘ ∩B^‘) = 1 – [P (A) + P (B) – P (A ∩B)]

= 1 – [0.6 + 0.6 – 0.4] = 1 – 0.8 = 0.2

ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P (B) > 0 เขียน P (A/B) แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

พิจารณาในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน

นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (A ∩B) = P (A) P (B)

ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (A/B) = P (A)

เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (B/A) = P (B)

ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 1 เป็น 5

B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 2 เป็น 5