วิธีจัดหมู่ ( COMBINATION )
วิธีจัดหมู่ คือ วิธีการจัดสิ่งของที่แตกต่างกันออกเป็นกลุ่ม หรือ หมู่โดย
ไม่คำนึงถึงอันดับ เช่น การจัดหมู่ตัวอักษร A , B และ C ออกเป็นหมู่ละ 2 ตัวอักษร
จะจัดได้ AB AC และ BC เพียง 3 หมู่ หรือ 3 วิธี
จะเห็นว่า AB และ BA เป็นหมู่เดียวกัน หรือAC กับ CA เป็นหมู่เดียวกัน หรือ
BC กับ CBเป็นหมู่เดียวกัน ดั้งนั้นการจัดหมู่ไม่ใช่การจัดลำดับ
ตัวอย่างที่ 1 ชาย 6 คน และหญิง 6 คน ในจำนวนนี้มีนายสมบัติ และนางสาวสมศรี รวมอยู่ด้วย ถ้าให้ผู้ชายไปจับคู่กับผู้หญิง
จะมีวิธีการจับคู่กี่วิธี เมื่อ
(1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม
(2) นายสมบัติจับคู่กับนางสาวสมศรี
(3) นายสมบัติไม่จับคู่กับนางสาวสมศรี
วิธีทำ
(1) จำนวนวิธีการจับคู่ = จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของชาย 6 คน (หรือของหญิง 6 คน)
= 6! = 720 วิธี
(2) จำนวนวิธีของการจับคู่โดยสมบัติจับคู่กับสมศรี = 1×5! = 120 วิธี
(3) จำนวนวิธีของการจับคู่โดยสมบัติไม่จับคู่กับสมศรี = 5×5! = 600 วิธี
(หรือเท่ากับ 720 – 120 = 600 วิธี)
ตัวอย่างที่2 มีครูชาย 2 คน ครูหญิง 2 คน นักเรียนชาย 2 คน และนักเรียนหญิง 2 คน มายืนเรียงแถวยาว จะมีวิธีการยืน
ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
(1) ครูชายยืนติดกัน ครูหญิงยืนติดกัน แต่ครูชายและครูหญิงยืนไม่ติดกัน
(2) ครูชาย ครูหญิง นักเรียนชาย และนักเรียนหญิง ยืนสลับกันทีละคน โดยที่ลำดับต้องเหมือนกับ
ลำดับของชุดแรก
(3) ครูชาย ครูหญิง ยืนสลับกันทีละคน และนักเรียนชาย นักเรียนหญิง ยืนสลับกันทีละคน
วิธีทำ (1) นักเรียนชาย 2 คน และนักเรียนหญิง 2 คน มีวิธีการยืน = 4! = 24 วิธี
มีช่องว่าง 5 ช่อง รวมครูชาย 2 คน เป็น 1 คน และรวมครูหญิง 2 คน เป็น 1 คน
นำครูชายและครูหญิงไปแทรก จำนวนวิธีการแทรก = 5P2 × 2! × 2!
= 5! / 3! ×4 = 80 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการยืน = 24 × 80 = 1,920 วิธี
(2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของชุดแรก = 4! = 24 วิธี
ในแต่ละวิธี ครูชาย ครูหญิง นักเรียนชาย และนักเรียนหญิงมีการสลับกันเองได้
2! × 2! ×2! ×2! = 16 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการยืน = 241 ×6 = 384 วิธี
(3) จำนวนวิธีการยืนของครูชาย และครูหญิงโดยยืนสลับกันทีละคน เท่ากับ
2! × 2! ×2 ! = 8 วิธี
จำนวนวิธีการยืนของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงโดยยืนสลับกันทีละคน เท่ากับ
2! × 2! ×2 ! = 8 วิธี
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของกลุ่มครูและกลุ่มนักเรียน = 2! = 2 วิธี
ดั้งนั้น จำนวนวิธีการยืน = 8×8×2 = 128 วิธี
ตัวอย่างที่ 3 ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า PREFACE จะสลับได้กี่วิธี เมื่อต้องการให้อักษรที่ซ้ำกันอยู่ติดกัน และ
(1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม (4) ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ
(2) อักษรที่ซ้ำกันอยู่ริม (5) ขึ้นต้นด้วยสระ
(3) อักษรที่ซ้ำกันต้องไม่อยู่ริม (6) พยัญชนะอยู่ติดกัน
วิธีทำ (1) จำนวนวิธีสลับ = 6! = 720 วิธี
(2) ตัวอักษร EE อยู่ริม มีวิธีการสลับ = 2 วิธี
ตัวอักษร 5 ตัวที่เหลือ = 5! = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ = 2 ×120 = 240 วิธี
(3) ตัวอักษร EE มีวิธีการสลับตำแหน่ง 4 วิธี (ยกเว้นหัวและท้าย)
ตัวอักษร 5 ตัวที่เหลือ = 5! = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ = 4 ×120 = 480 วิธี
(4) พยัญชนะ ได้แก่ P, R, F, C
จำนวนวิธีการนำตัวอักษรใส่ในตำแหน่งแรก = 4 วิธี
จำนวนวิธีสลับตัวอักษร 5 ตัว = 5! = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ = 4 ×120 = 480 วิธี
(5) กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย EE
จำนวนวิธีการสลับ = 1 ×5! = 120 วิธี
กรณีที่ 2 ขึ้นต้นด้วย A
จำนวนวิธีการสลับ = 1 ×5! = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ = 120 + 120 = 240 วิธี
PRFC E
E A
(6) จำนวนวิธีสลับ = 3!× 4! = 6× 24 = 144 วิธี
