ความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์

          ความสัมพันธ์เป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่มีบทบาทมากในการวิเคราะห์ความเกี่ยวข้องกันระหว่างสมาชิกในเซตเดียวกับหรือสมาชิกต่างเซตกัน โดยสมาชิกที่สัมพันธ์กันจะถูกเขียนในรูปของคู่อันดับ ถ้าเราให้ S เป็นเซตของนักเรียน และ C เป็นเซตของวิชา ถ้านักเรียนคนที่ s ได้ลงเรียนวิชา c นั้นคือนักเรียน s และวิชา c สัมพันธ์กันในลักษณะของการลงเรียนวิชาเขียนแทนด้วยคู่อัน (s,c) โดยที่คู่อันดับ (s,c) เป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน S x C  เมื่อเรารวบรวมคู่อัน (s,c) ทั้งหมดเราจะได้เซตที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของนักเรียนกับวิชาที่เรียน นอกจากนี้หากนักเรียน s ได้ลงเรียนวิชา c1, c2 และ c4 เราสามารถแทนด้วยคู่อันดับ

( s, { c1, c2, c4 } ) ซึ่งเป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียน S x P(C) โดยที่ P(C) คือเพาเวอร์เซตของเซต C

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = { a, b } จงหา A x P(A)

วิธีทำ พิจารณา P(A) = { { }, {a}, {b}, { a, b } } จะได้ว่า

A x P(A) = { (a, { }), (a, {a}),  (a, {b}), (a, { a, b }), (b, { }), (b, {a}),  (b, {b}), (b, { a, b }) }

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3  และ 5 ตามลำดับจำนวนความสัมพันธ์ของ A และ B ที่แตกต่างกันมีค่าเท่าใด

วิธีทำ เนื่องจาก n(A) = 3 และ n(B) = 5 จะได้ว่า n( A x B ) = 15 ความสัมพันธ์คือการเลือกหรือรวบรวมผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B นั้นคือเซตย่อยของ A x B ดังนั้นจำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนเซตย่อยของ A x B เท่ากับ 2¹⁵

ความสัมพันธ์ทวิภาค

ความสัมพันธ์ทวิภาคเป็นการรวบรวมสมาชิกของเซต 2 เซตที่สัมพันธ์กันอาจจะเป็นเซตเดียวกันหรือต่างเซตกันก็ได้ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ A = {1,2,3,4,5} และ B = {2,4} การจับคู่กับระหว่างเซต A และ B หรือผลคูณคาร์ทีเซียน

A x B = { (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4), (5,2), (5,4) }

จะเห็นว่ามีการจับคู่ได้ทั้งหมด 10 แบบ แต่หากเราต้องการรวบรวมสมาชิกในเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จาก A x B จะได้คู่อันดับ (1,2), (1,4), (2,4) และ (3,4) กำหนดใด้ R เป็นความสัมพันธ์ของเซต A และ B โดยที่สมาชิกในเซต A มีค่าน้อยกว่าสมาชิกในเซต B จะได้ว่า

R = { (1,2), (1,4), (2,4), (3,4) }

ให้ R1 เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเซต A และเซต B โดยที่สมาชิกในเซต B หารสมาชิกในเซต A ได้ลงตัว

R1 = { (2,2), (4,2), (4,4) }

ให้ R2 เป็นความสัมพันธ์บนเซต A (ระหว่างเซต A และเซต A) โดยที่สมาชิกตัวค่าแรกมีค่าน้อยกว่าค่าที่ 2

R2 = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,4), (3,4), (3,5), (4,5) }

ความสัมพันธ์สมมูล

ความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์บนเซตโดยที่สอดคล้องคุณสมบัติ 3 ข้อได้แก่ การสะท้อน ความสมมาตร และ การถ่ายทอด ถ้ากำหนดให้ R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A แล้วจะได้ว่า

1. การสะท้อน สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของเซต A สมาชิก x จะต้องสัมพันธ์กับ x นั้นคือ x R x
2. ความสมมาตร สำหรับสมาชิก x และ y ใด ๆ ของเซต A ถ้า x สัมพันธ์กับ y แล้ว y จะต้องสัมพันธ์กับ x ด้วย นั้นคือ ถ้า x R y แล้ว y R x
3. การถ่ายทอด สำหรับสมาชิก x, y และ z ใด ๆ ของเซต A ถ้า x สัมพันธ์กับ y และ y สัมพันธ์กับ z แล้ว x จะต้องสัมพันธ์กับ z ด้วย นั้นคือ ถ้า x R y และ y R z แล้ว x R z

ขอบคุณข้อมูล https://www.scimath.org/