พหุนาม (Polynomial)
1 การบวกและการลบเอกนาม
2 การบวกและการลบพหุนาม
3 การคูณพหุนาม
4 การหารพหุนามด้วยเอกนาม
การบวกและการลบเอกนาม
1. เอกนามสองเอกนามจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน
2. เอกนามที่จะนำมาบวกหรือลบกันได้ต้องเป็นเอกนามที่คล้ายกัน โดยนำสัมประสิทธิ์ของเอกนามที่คล้ายกันมาบวกหรือลบกัน
ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน
= (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) × (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)
ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน
= (ผลลบของสัมประสิทธิ์) × (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)
ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน
–x คล้ายกันกับ 0.5x
4ab คล้ายกันกับ –ba
0.14xy คล้ายกันกับ 5xy
4 คล้ายกันกับ
ตัวอย่างของเอกนามที่ไม่คล้ายกัน
2x ไม่คล้ายกับ 2y เพราะตัวแปรไม่เป็นชุดเดียวกัน
5ab ไม่คล้ายกับ 2a2b2 เพราะเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เท่ากัน
3x2y ไม่คล้ายกับ 0.81xy2 เพราะเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เท่ากัน
ผลบวก = ผลบวกของสัมประสิทธิ์ ตัวแปรชุดเดิม
เช่น 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x
(-4ab) + (3ab) = (-4 + 3)ab = -ab
x2y + 3x2y = (1 + 3)x2y = 4x2y
4abc + (-abc) = (4 – 1)abc = 3abc
การลบ คือ การบวกด้วยจำนวนตรงข้ามของตัวลบ
และจำนวนตรงข้ามของเอกนามก็จะเป็นจำนวนตรงข้ามของสัมประสิทธิ์ของเอกนามนั้น ๆ
เช่น จำนวนตรงข้ามของ 3x คือ -3x
จำนวนตรงข้ามของ 4ab2 คือ –4ab2
จำนวนตรงข้ามของ คือ
การหาผลลบมีลักษณะดังนี้
3ab – 4ab = 3ab + (-4ab) = -ab
(-4x2y) – 8x2y = (-4x2y) + (-8x2y) = -12x2y
5x – (-4x) = 5x + 4x = 9x
3x – (-4y) = 3x + 4y = 3x + 4y
ตัวอย่าง การบวก การลบ พหุนาม อ้างอิง แบบฝึกหัด 6.2 ข หนังสือคณิตศาสตร์ รายวิชาพื้นฐาน ม.2 เล่ม 1 จะช่วยให้น้องๆ พัฒนาความรู้เกี่ยวกับ การบวก และ การลบ พหุนาม ให้ดียิ่งขึ้น
- จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) -12x + 15 และ 5x
= -12x + (15 + 5x)
= -12x + 15 + 5x
จัดรูปเป็น
= (-12x + 5x) + 15
= -7x + 15
2) -8 และ x-6
= – 8 + (x – 6)
= – 8 + x – 6
จัดรูปเป็น
= [- 8 – 6] + x
= -14 + x
ตัวอย่าง จงหาผลบวกและผลลบของ 3x2 – 4x + 2 และ 7x – 3 โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวตั้ง
วิธีทำ
หาผลบวก
(3x2 – 4x + 2) + (7x – 3) = 3x2 – 4x + 2 + 7x – 3
(3x2 – 4x + 2) + (7x – 3) = 3x2 + 3x – 1
หาผลลบ
(3x2 – 4x + 2) – (7x – 3) = 3x2 – 4x + 2 + (-7x) + 3
(3x2 – 4x + 2) – (7x – 3) = 3x2 – 11x + 5
การคูณพหุนาม
การคูณพหุนามสามารถใช้สมบัติการสลับที่ (commutative property) สมบัติการแจกแจง (distribution property)ได้เช่นเดียวกับการคูณจำนวนกับจำนวน
การพหุนามด้วยเอกนาม ทำได้โดยคูณเอกนามกับทุก ๆ พจน์ของพหุนาม แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น
(2x2) · (3x2 − 4x + 5) = 6x4 − 8x3 + 10x2
การคูณพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุก ๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น
(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
การหารพหุนามด้วยเอกนาม
การคูณเอกนามกับพหุนาม
การหาผลคูณของเอกนามกับพหุนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
การหาผลคูณระหว่างเอกนามกับพหุนามทำได้โดยนำเอกนามไปคูณแต่ละพจน์ของพหุนาม แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน
ตัวอย่าง จงหาผลคูณของ 2x กับ (-5x)2 + 6x – 4
วิธีทำ
(2x)((-5x)2 + 6x – 4) = (2x)[((-5x)2) + 6x + (-4)]
(2x)((-5x)2 + 6x – 4) = (2x)(-5x)2 + (2x)(6x) + (2x)(-4)
(2x)((-5x)2 + 6x – 4) = (-10x)3 + (12x)2 – 8x
การหารพหุนามด้วยเอกนาม
การหารพหุนามด้วยเอกนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
การหาผลหารของพหุนามด้วยเอกนามที่ไม่เป็นศูนย์ ทำได้โดยหารแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยเอกนาม แล้วนำผลหารเหล่านั้นมาบวกกัน ถ้าการหารพหุนามด้วยเอกนามได้ผลหารเป็นพหุนาม แล้วจะกล่าวว่าการหารนั้นเป็นการหารลงตัว
ความสัมพันธ์ของตัวหาร ผลหาร และตัวตั้งในกรณีที่เป็นการหารลงตัว เป็นดังนี้
ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง
ตัวอย่าง จงหาร (18x)3 – (27x)2 + 3x ด้วย 3x
วิธีทำ
(18x)3 – (27x)2 + 3x / 3x = [(18x)3 + ((-27x)2) + 3x] / 3x
(18x)3 – (27x)2 + 3x / 3x = ((18x)3 / 3x) + [((-27x)2) / 3x] + (3x / 3x)
(18x)3 – (27x)2 + 3x / 3x = (6x)2 + (-9x) + 1
(18x)3 – (27x)2 + 3x / 3x = (6x)2 – 9x + 1
