สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
“สมการเชิงเส้นสองตัวแปร” คือ สมการของความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองชุด หรือตัวแปรสองตัวตามชื่อของมัน โดยใช้ตัวแปร x และ y ที่มีดีกรี 1 และมีรูปทั่วไปของสมการคือ
Ax + By + C = 0
เมื่อ x, y เป็นตัวแปร,
A,B,C เป็นค่าคงที่
A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน
ข้อสังเกตุ
มีตัวแปรสองตัว คือ x และ y
ไม่มี xy หรือการคูณกันของตัวแปร
เลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 (ดีกรี1)
สัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็น 0 พร้อมกัน เมื่อ A = 0 สมการจะอยู่ในรูป By + C = 0
ถ้าไม่ได้ระบุเงื่อนไขของ x และ y ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆ
กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเป็นเส้นตรง จึงเรียกว่า กราฟเส้นตรง เช่น 2x + y – 4 = 0
การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (การแก้สมการ x,y)
“การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”เป็นการแก้สมการเพื่อหาคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งได้แก่ คู่อันดับ (x,y) เมื่อนำค่า x และ y ไปแทนค่าในสมการทั้งสองจะทำให้ระบบสมการเป็นจริง
สามารถทำได้สองวิธี คือ
ระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสอง
ตัวแปรที่มีสองสมการดังต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน พร้อมทั้งหาคำตอบของระบบสมการ
2x + 3y = 6 . . . . (1)
2x + 3y = 12 . . . . (2)
วิธีทำ เขียนกราฟของสมการที่กำหนดได้ดังนี้
จะเห็นว่าเส้นตรงที่ได้จากสมการ (1) และเส้นตรงที่ได้จากสมการ (2) ขนานกัน จึงไม่มีจุดตัด
นั่นคือระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ไม่มีคำตอบ
คำตอบของระบบสมการ เชิงเส้นสองตัวแปร คือ จุดตัดของเส้นตรงทุกเส้นของระบบสมการ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอาจไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเดียว หรือ มีหลายคำตอบ
เรื่องที่ 2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น หมายถึง การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากเราจะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กราฟดังที่ศึกษามาแล้วใน เรื่องที่ 1
ยังมีวิธีหาคำตอบ หรือมีวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการทางพีชคณิตอีกสองวิธีดังนี้
1. วิธีแก้สมการโดยการแทนค่า มีวิธีทำดังนี้
(1) เขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง เช่น เขียน x ในรูปของ y จากสมการ (1) หรือสมการ (2) สมการใดสมการหนึ่ง
(2) ถ้าเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งจากสมการ (1) ให้นำผลที่ได้ไปแทนค่าตัวแปรนั้นในสมการ (2) แต่ถ้าเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งจาก (2) ให้นำผลที่ได้ไปแทนค่าตัวแปรนั้นในสมการ (1) เมื่อแทนค่าแล้วสมการที่ได้จะมีตัวแปรเดียว
(3) แก้สมการในข้อ (2) จะหาค่าของตัวแปรตัวที่หนึ่งได้
(4) นำค่าของตัวแปรที่หาได้ไปแทนค่าสมการที่กำหนด สมการใดสมการหนึ่งจะหาค่าของตัวแปรตัวที่สองได้
เมื่อได้ค่าของตัวแปรทั้งสองตัวคือได้คำตอบของระบบสมการ
ให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น
x + 2y = 7 . . . . (1)
2x – y = 4
วิธีทำ ให้ x + 2y = 7 . . . . (1)
2x – y = 4 . . . . (2)
จาก (1) x + 2y = 7
เขียน x ในรูปของ y จะได้
x = 7 – 2y . . . . (3) . . . . ขั้นที่ (1)
นำค่า x ที่ได้ใน (3) แทนค่าในสมการ (2) . . . . ขั้นที่ (2)
2 x – y = 4
จะได้ (2 (7 – 2y) – y = 4
