เลขชี้กำลังและรูปแบบมาตรฐาน

เป็นการยากที่จะทำให้เลขคณิตและการคำนวณอย่างคร่าวๆ เมื่อจำนวนเหล่านั้นมีค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุดสิ่งที่สามารถทำได้ที่จะช่วยเขียนจำนวนเหล่านั้นให้กระชับยิ่งขึ้นก็คือการใช้เลขชี้กำลังและรูปแบบมาตรฐาน

เลขยกกำลัง

คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง n โดยพื้นฐานแล้วการยกกำลังจะมีความหมายเหมือนกับการคูณ a ซ้ำๆ เป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงให้เห็นเป็นตัวยกทางขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น

เลขยกกำลัง aⁿ อาจสามารถนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้ เพราะการยกกำลังได้นิยามสำหรับเลขชี้กำลัง n ที่เป็นจำนวนจริงหรือแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนไว้แล้วสำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งของนิยามดังกล่าว ซึ่งทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อฐาน a ไม่เป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลัง n ก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวน aⁿ จะไม่สามารถหาค่าได้ด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องของ a

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เลขชี้กำลังจะเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกคือ 5 จำนวน 3 ที่เป็นฐานจึงปรากฏ 5 ครั้งในการคูณ และ 243 เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากการยกกำลัง 5 ของ 3

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

เลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือหนึ่ง

เนื่องจาก 3¹ หมายถึงผลคูณของ 3 เพียง 1 ตัว นั่นหมายความว่าจะได้คำตอบเป็น 3 คือตัวฐานนั้นเอง

และจากความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น ทำให้ 3⁵ = 3·3⁴ และ 3⁴ = 3·3³ เรื่อยไปจนถึง 3¹ = 3·3⁰

ดังนั้น 3⁰ จึงต้องมีค่าเป็น 1 เพื่อทำให้ความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นจริง

กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ x ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถนับจำนวนการปรากฏของ x จาก

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น

เพราะว่าตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน x⁰ จึงมีค่าเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า 3⁰ ก็มีค่าเท่ากับ 1 เช่นกัน

ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้สองประการว่า

• จำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
• จำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1; สำหรับจำนวน 0⁰ จะกล่าวถึงในภายหลัง

รูปแบบมาตรฐาน

เลขยกกำลังของ 10 

ในระบบเลขฐานสิบ เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 10³ = 1000 และ 10⁻⁴ = 0.0001 เป็นต้น

การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ยกตัวอย่าง จำนวน 299,792,458 (ความเร็วแสงในสุญญากาศ หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458 × 10⁸ หรือเท่ากับประมาณ 2.998 × 10⁸

คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนเลขยกกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกัน เช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 10³ = 1000 ดังนั้น กิโลเมตร จึงหมายถึง 1000 เมตร

เลขยกกำลังของ 2

เลขยกกำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2ⁿ ค่า และก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2ⁿ ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)

ในระบบเลขฐานสอง เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถแสดงได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 เหมือนเช่นระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่าง 2³ = 1000₂ เป็นต้น

เลขยกกำลังของ 1

เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1ⁿ = 1

เลขยกกำลังของ 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0ⁿ = 0; n > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากจะทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0⁰ = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม สำหรับเรื่องนี้โปรดดูหัวข้อถัดไป

เลขยกกำลังของ −1

เลขยกกำลังของ −1 มีประโยชน์อย่างยิ่งในการแสดงลำดับที่สลับเครื่องหมาย

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ เลขยกกำลังของ −1 จะเท่ากับ 1 นั่นคือ (−1)²ⁿ = 1

ในทางตรงข้าม หากเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ เลขยกกำลังของ −1 จะยังคงเท่ากับ −1 นั่นคือ (−1)²ⁿ⁺¹ = −1