ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1)คู่อันดับ : เขียนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวคู่หลัง คู่อันดับสองคู่อันดับใดๆ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคู่อันดับนี้เท่านั้น
(a, b) = (c,d) เมื่อ a= c และ b = d
2) ผลคูณคาร์ทีเซียน : ผลคูณคสร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x B หมายถึง เซตของคู่อันดับ (X , Y ) ทั้งหมด โดยที่ X เป็นสมาชิกเซต A และ Y เป็นสมาชิกของเซต B
A x B = {(x ,y) | x A และ y B }
เช่น A= { 1,2} และ B= {3, 4}
A x B = {(3,1 ), (1,4 ), (2,3), (2,4)}
B x A = {(3,1 ),(3,2) ,(4,1) ,(4,2)}
จากตัวอย่าง จะเห็นว่า A x B = B x A
3)ความสัมพันธ์: สับเซตของผลคูณคาร์เซียนของเซต A และเซต B ถ้าแทนเซตของความสัมพันธ์ด้วย r
r A x B แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
r A x B แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน A
เช่น A = {1,3} และ B = {2,4,6}
A x B = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,2) , (3,4) , (3,6)}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” จาก A ไป B
จะได้ว่า r = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,4) , (3,6)}
หรือ r = {(x , y) € A x B | x < y }
4) โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์
โดเมน r : เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D
เรนจ์ของ r : เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R
เขียน D และ R ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้
D = {x | (x , y) € r }
R = {y | (x , y) € r }
ถ้า r = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6)
หรือ r = {(x,y)}€ A×B | x< y}
4.โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
บทนิยาม
โดเมนของ r : เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D
เรนจ์ของ r : เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R
เขียน D และ r ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้
D = {x|(x,y)€}
R = {y|(x,y)€r}
ถ้า r={(a,1),(b,3),(c,5)}
จะได้ว่า D = {a,b,c} R = {1,3,5}
โจทย์ตัอย่าง
กำหนดให้ A = {1, 2, 3} ,B= {2, 4} , C= {3, 5} ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก.A ×B = {(1,2) , (1,4) , (2,2), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
ข.A ×C = {(1,3) , (1,5) , (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}
ค.B ×C = {(2,2) , (2,3) , (2,4), (2,5), (4,3), (4,4), (4,5)}
ง.C ×A = {(3,1) , (3,2) , (3,3), (5,1), (5,2), (5,5)
ถ้า (3x – 5, – 2) = (1,4 – 2y)n แล้ว x+y ตรงกับข้อใด
ก.5
ข.6
ค.7
ง.8
ตัวผกผันของความสัมพันธ์
บทนิยาม
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของ
สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r
เขียน r ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้
1. ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product)
นิยาม คูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือเซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a ∈ A และ b ∈ B
เช่น A = {1,2,3} , B = {4,5,6}
และ A × B คือผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และเซต B ดังนั้น
A × B = {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)}
2. ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ
2.1 ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน
2.2 คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเชียนนั่นเอง
3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)
ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์
โดเมน ของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ
เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ
4. ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใดๆ จะมีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้
เช่น R1 = {(1,2),(1,4)} R1 ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน
R2 = {(1,3),(2,3)} R2 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
R3 = {(1,4),(2,3)} R3 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
บทนิยาม
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1
จากบทนิยามทราบว่า
ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์สของ r เขียนแทนด้วย r-1
r-1 คือความสัมพันธ์จาก B ไป A
r-1 จะมีสมาชิกเป็นคู่อันดับ (y,x) โดยที่ (x,y) Î r
r-1 = {(y,x) (x,y) Î r}
สิ่งที่ควรรู้ 1. D r-1 = Rr และ R r-1 = Dr
2. สามารถเปลี่ยน r เป็น r-1 หรือเปลี่ยน r-1 เป็น r ได้ เช่น y = r(x)
เปลี่ยนเป็น r-1(y) = x
3. กราฟของ r กับ r-1 จะมีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
การหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์โดยวิธีตรง
วิธีการ ใช้หลักการเปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x
เปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x ในสมการ y = r(x) ให้เป็น x = r-1(y)
จัดสมการจากข้อ 1 ใหม่ให้อยู่ในรูป y = เทอมของ x
Y ที่ได้ในการจัดตามข้อ 2 คือ r-1(x) แสดงว่า y = r-1(x) นั่นเอง
ตัวอย่าง กำหนดให้ r(x) = 5x + 2 จงหา r-1(x)
เปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x
x = 5y + 2
