เรื่อง อสมการ
แก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้
บทนิยาม อสมการ คือ ประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวน โดยมีสัญลักษณ์ < , > , ≤ , ≥ หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์
สัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสองจำนวน ได้แก่
< แทนความความสัมพันธ์ น้อยกว่า
> แทนความความสัมพันธ์ มากกว่า
≥ แทนความความสัมพันธ์ มากกว่าหรือเท่ากับ
≤ แทนความความสัมพันธ์ น้อยกว่าหรือเท่ากับ
= แทนความความสัมพันธ์ เท่ากับ
≠ แทนความความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับ
การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
1) ครูสนทนาและซักถามนักเรียนเกี่ยวกับสัญลักษณ์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสองจำนวน และให้นักเรียนจับคู่ยกตัวอย่างประโยคภาษาและประโยคสัญลักษณ์ที่เป็นสมการ เช่น
- ประโยคภาษาคือ “สี่เท่าของจำนวนหนึ่งบวกด้วยห้าเท่ากับลบสิบสาม”
จะได้ประโยคสัญลักษณ์เป็น 4x + 5 = -13
- ประโยคภาษาคือ “สองเท่าของผลบวกของจำนวนหนึ่งกับสามมากกว่าจำนวนนั้นอยู่สิบห้า”
จะได้ประโยคสัญลักษณ์เป็น 2(x + 3) – x = 15
และขออาสาสมัครนักเรียน 4 คน จับคู่ คู่ที่หนึ่งกล่าวประโยคภาษา คู่ที่สองเปลี่ยนเป็นประโยคสัญลักษณ์ แล้วให้คู่ที่สอง กล่าวประโยคภาษา คู่ที่หนึ่งเปลี่ยนเป็นประโยคสัญลักษณ์ โดยให้เพื่อนในห้องช่วยตรวจความถูกต้อง
2) ครูใช้การถาม – ตอบประกอบคำอธิบาย โดยครูกล่าวประโยคภาษาของอสมการ แล้วให้นักเรียนเปลี่ยนเป็นประโยคสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้ และในวงเล็บแสดงประโยคสัญลักษณ์ที่ได้
- กำลังสองของเก้าบวกกับเจ็ดน้อยกว่าเก้าสิบ (92 + 7 < 90)
- รากที่สองของสี่สิิบเก้าลบด้วยสามมากกว่าสี่ ( – 3 > 4)
- สองเท่าของเงินออมของนิตาไม่มากกว่าแปดร้อยบาท (2 800)
- สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งบวกด้วย ิบเก้าไม่น้อยกว่าหนึ่งร้อย (3x + 19 100)
- กำลังสองของผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสามมากกว่าแปดสิบเอ็ด [(x – 3)2 > 81]
- เจ็ดเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งลบด้วยห้าไม่เท่ากับสี่สิิบแปด (7x – 5 48)
และครูควรถามนักเรียนด้วยว่าความสัมพันธ์ “ไม่มากกว่า” และ “ไม่น้อยกว่า” อาจกล่าวได้ว่า
หมายถึงอะไร ซึ่งนักเรียนสามารถบอกได้ว่าหมายถึง “น้อยกว่าหรือเท่ากับ” และ “มากกว่าหรือเท่ากับ”
3) ครูใช้ประโยคสัญลักษณ์จากข้อ 2) ให้ความรู้เกี่ยวกับอสมการเพิ่มเติม โดยการบอกและการถาม – ตอบ ประกอบคำอธิบาย เพื่อให้นักเรียนสามารถบอกความหมาย สัญลักษณ์ที่ใช้ และมีความคิดรวบยอดว่าอสมการมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ มีอสมการที่เป็นจริงและอสมการที่เป็นเท็จ เมื่ออสมการนั้นไม่มีตัวแปร ซึ่งนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากตารางในหัวข้อที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2
4)ครูใช้เนื้อหาในหนังสือเรียนอธิบายเกี่ยวกับตัวอย่างของอสมการและอาจเพิ่มเติมอสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรด้วย แล้วใช้การถาม – ตอบ ประกอบคำอธิบายให้นักเรียนบอกได้ว่าอสมการใดเป็นอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
5) ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดร่วมกันในชั้นเรียน
ชั่วโมงที่ 3 – 8
1) นักเรียนทุกคนทำใบกิจกรรมที่ 1 เรื่องคำตอบของสมการในเวลา 10 นาที และเมื่อทำเสร็จแล้วนักเรียนทุกคนช่วยกันเฉลยและสรุป ครูอาจกำหนดสมการและจำนวนอื่นๆ ได้ มากมาย
2) นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 2 เรื่องคำตอบของอสมการในเวลา 10 นาที เมื่อทำเสร็จแล้ว นักเรียนทุกคนช่วยกันเฉลย ครูอธิบายต่อเพื่อให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับคำตอบของอสมการว่ามีได้หลายคำตอบและ การเขียนคำตอบของอสมการจะแตกต่างจากคำตอบของสมการ
ตัวอย่างของคำถามที่จะช่วยให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด เช่น
นักเรียนคิดว่าจะมีจำนวนใดอีกบ้างเมื่อนำไปแทนค่า แล้วทำให้อสมการ ในใบกิจกรรมที่ 2 เป็นจริง
นักเรียนคิดว่ามีทศนิยมหรือเศษส่วใดบ้างเมื่อนำไปแทนค่าแล้วทำให้อสมการทั้งห้าเป็นจริง (ซึ่งมีคำตอบหลากหลาย)
นักเรียนคิดว่ามีจำนวนเต็มที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ทำให้อสมการทั้งห้าเป็นจริงหรือไม่ คำตอบคือสมการ (1) มี -4 เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการเป็นจริงและไม่สามารถบอกจำนวนเต็มที่มากที่สุดได้
อสมการ (2) และ (3) มี 4 เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการเป็นจริงและไม่สามารถบอกจำนวนที่น้อยที่สุดได้
อสมการ (4) มี -5 เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดและไม่สามารถบอกจำนวนเต็ม ที่น้อยที่สุดได้
อสมการ (5) มี 9 เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดและไม่สามารถบอกจำนวนเต็มที่มากที่สุดได้
นักเรียนคิดว่ามีจำนวนที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ทำให้อสมการเป็นจริงหรือไม่ ซึ่งอสมการ (1) ไม่สามารถบอกจำนวนที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดได้ แต่อสมการ (2), (3) และ (4) มี 4 , 4.5 และ -5 เป็นจำนวนที่มากที่สุด แต่ไม่สามารถบอกจำนวนที่น้อยที่สุดได้
จำนวนที่ทำให้อสมการทั้งห้าเป็นจริงมีมากมาย นักเรียนคิดว่าคำตอบของอสมการทั้งห้านี้ควรจะเขียนอย่างไร เพราะเหตุใด ซึ่งนักเรียนอาจตอบว่าเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ “ >” “<” เพราะโจทย์กำหนด
3) ครูอธิบายเพิ่มเติมให้นักเรียนได้ข้อสรุปว่า ถ้าใช้วิธีการแทนค่าตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริงอาจจะไม่สามารถหาค่าที่ครอบคลุมคำตอบทั้งหมดของอสมการได้ ซึ่งทำให้ได้ผลสรุปคำตอบของอสมการไม่ถูกต้องได้ เช่น
จาก (1) x – 7 > – 12 ถ้าใช้ข้อสรุปจากการแทนค่าอาจจะได้คำตอบของอสมการแตกต่างกัน
ดังนี้
คำตอบของอสมการเป็นจำนวนทุกจำนวนตั้งแต่ – 4 ขึ้นไป หรือ คำตอบของอสมการเป็นจำนวนที่มากกว่า -5 ซึ่งครูกำหนด -4.9, -4.99, … ให้นักเรียนแทนค่าตัวแปรค่าเหล่านี้เป็นคำตอบของอสมการด้วย
ตัวอย่าง แสดงอสมการที่มีตัวแปรและไม่มีตัวแปร
7 + 3 < 12 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3 + 5 ≠ 5 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3 + 1 < 9 เป็นอสมการที่มี x เป็นตัวแปร
4 – 5 ≥ 18 เป็นอสมการที่มี x เป็นตัวแปร
3y – z ≤ 10 เป็นอสมการที่มีสองตัวแปรคือ y และ z
4y – 5 > 2y + 3 เป็นอสมการที่มีตัวแปรเดียวคือ y
ในการแก้อสมการนั้น มีหลักในการแก้อสมการโดยใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ดังต่อไปนี้ ได้แก่
- คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
- คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
- คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
- คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ
ประโยคสัญลักษณ์ที่เป็นอสมการ เชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ “ = ” บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน อาจมีตัวแปร หรือไม่มีตัวแปร เช่น
สมการที่ไม่มีตัวแปร สมการที่มีตัวแปร
5 + 4 = 9 2x + 2 = 8
10 – 2 = 8 y – 9 = -6
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นหนึ่ง มีรูปทั่วไปเป็น ax + b = 0 เมื่อ a ≠ 0 และ a, b เป็นค่าคงตัว ที่มี x เป็นตัวแปร เช่น 2x + 4 = 0
คำตอบของสมการ
คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่าจำนวนใน [ ] เป็นคำตอบของสมการที่กำหนดให้หรือไม่
- -8 + t = 10 [8]
เมื่อแทน t ด้วย 8 ในสมการ -8 + t = 10
จะได้ -8 + 8 = 10 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นเท็จ
ดังนั้น 8 ไม่เป็นคำตอบของสมการ -8 + t = 10
- x + 4 = 12 [8]
เมื่อแทน x ด้วย 8 ในสมการ x + 4 = 12
จะได้ 8 + 4 = 12 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 8 เป็นคำตอบของสมการ x + 4 = 12
แหล่งที่มา
อสมการ. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://th.wikipedia.org/wiki/อสมการ
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://sites.google.com/site/mathbykruboo/home/xsmkar-cheing-sen-tawpaer-deiyw
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://www.mathpaper.net/index.php/en/2012-12-20-16-07-59
อสมการ. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https:// https://www.goonone.com/inequality/567-กุญแจคณิตศาสตร์-แบบฝึกหัด-1-2-การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.html
