ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ

แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้

a^x         =          1^x         =          1

 

          ข้อสังเกต

1. ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1^x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
2. เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R⁺ / y = a^x , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ka^x  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = a^x  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

1. f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1^x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
2. f(x) = 1^x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัว
3. จากเงื่อนไขที่ว่า y = a^x, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = a^x, 0 < a < 1

ชนิดที่ 2     y = a^x, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

1.สมบัติการบวก

log _a M + log _a N = log _a ( M•N )

2.สมบัติการลบ

log _a M – log _a N = log _a (M/N)

3.สมบัติของเลขลอการิทึม ที่เท่ากับเลขฐาน

log _a a = 1 เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1

4.สมบัติของลอการิทึม 1

log _a 1 = 0 เมื่อ a > 0

5.สมบัติเลขยกกำลังของลอการิทึม

log _a M^P = P • ( log _a M )

6.คุณสมบัติฐานลอการิทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้

log ^_a P _M = (1/P)( log _a M )

7.คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

log _b a = (log _e a /log _e a) เมื่อ a,b,c > 0 และ c,b, ≠ 1

– ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ 10

การเขียน log ₁₀ N แทนด้วย log N

*ค่าที่ควรจำ log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771

การหาค่าลอการิทึมสามัญ

การหาค่า log N ทุกจำนวน เมื่อ N เป็นจำนวนจริงบวก (N > 0) โดย N จะอยู่ในรูป N₀ x 10ⁿ : 1 ≥ N₀ ≥ 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม

N = N₀ x 10ⁿ : 1 ≥ N₀ ≥ 10

log N = log (N₀ x 10ⁿ)

log N = log N₀ + log 10ⁿ

log N = log N₀ + n

– ลอการิทึมธรรมชาติ คือ ลอการิทึมที่มีฐาน e ซึ่ง e เป็นจำนวนอตรรกยะที่มีค่าประมาณ 2.7182…

การเขียน log _e N แทนด้วย ln N

การหาค่าลอการิทึมฐาน e

โดยอาศัยลอการิทึมฐาน10 ดังนี้

ln x = log_ex = (log x/log e) = (log x/0.4343) = 2.3026 log x

สมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

ให้ M และN เป็นจำนวนจริงบวก ส่วน p เป็นจำนวนจริง

1.ln MN = ln M + ln N

2.ln (M/N) = ln M – ln N

3.ln M ^P = P ln M

4.ln 1 = 0

5.ln e = 1

6.ln x = (log x/log e) เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก

7.e ^{ln x} = x