คณิตศาสตร์พื้นฐานเรื่องจำนวนเต็ม ม.1

                                                                                      ค่าสัมบูรณ์ของ 5 เท่ากับ 5 เนื่องจาก 5 อยู่ห่างจากศูนย์ 5 หน่วย                                      

                                                                                       ค่าสัมบูรณ์ของ -5 เท่ากับ 5 เนื่องจาก -5 อยู่ห่างจากศูนย์ 5 หน่วย 

จำนวนเต็ม (Integer)

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนและทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น
จำนวนเต็มประกอบด้วย
1. จำนวนเต็มบวก ได้แก่  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …
2. จำนวนเต็มลบ  ได้แก่    … , -4 , -3 , -2 , -1
3. ศูนย์  ได้แก่   0

                      จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ

                                              จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆโดยที่ไม่สามารถระบุได้
ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่  1 , 2 , 3, … ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวน
นับที่มากที่สุดหาไม่ได้ คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง

จำนวนเต็มลบ

                                     จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน
และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบ
ที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้
1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์
2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1
3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลงกล่าวคือ …-5 < -4 < -3 < -2 < -1

                  ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ “0” )

                                    ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ “0” ) เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับจากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบ
ว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ “0” ในราวปีค.ศ. 800 โดยที่ “0” แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึงแต่ก็ไม่ใช่ว่า 0
จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0
ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

เส้นจำนวน

                                        เส้นจำนวน แสดงได้ดังนี้แบ่งแต่ละช่องให้เท่ากัน จะแบ่งกี่ช่องก็ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเต็ม ที่ต้องการในการเขียนเส้นจำนวน
เขียนหัวลูกศรทั้งสองข้างเพื่อแสดงว่ายังมีจำนวนอื่นๆ ที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนที่เขียนแสดงไว้

                                       สามารถใช้จุดบนเส้นจำนวนแทนจำนวนเต็มแต่ละจำนวนได้ ดังนี้
1. จำนวนเต็มที่อยู่ทางด้านขวามือของศูนย์บนเส้นจำนวน เรียกว่า  จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มที่อยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์บนเส้นจำนวน เรียกว่า  จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนศูนย์บนเส้นจำนวน เรียกว่า  จำนวนเต็มศูนย์

                                      การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

                                        การเปรียบเทียบจำนวนเต็มถ้าพิจารณาจากจำนวนเต็มบวก

                                                     จะได้ว่า    7   มากกว่า    2
นั่นคือ 7 อยู่ทางขวามือ และ 2 อยู่ทางซ้ายมือจะเห็นได้ว่า จำนวนเต็มที่อยู่ทางขวามือจะมากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ
เช่น   4 มากกว่า  2 เขียนแทนด้วย     4  >  2
3 มากกว่า  -1 เขียนแทนด้วย   3  > -1
-2 มากกว่า  -5 เขียนแทนด้วย  -2  > -5
-5 น้อยกว่า   3 เขียนแทนด้วย   -5 < 3

                                                สรุปการเปรียบเทียบจำนวนเต็มบนเส้นจำนวนได้ดังนี้

                                                                        ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

                                                                   ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มใดๆ หาได้จากระยะที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจากศูนย์บนเส้นจำนวน

                                                                                                                   ค่าสัมบูรณ์ของ 8 เท่ากับ 8 เนื่องจาก 8 อยู่ห่างจากศูนย์ 8 หน่วย

                                                                                      ค่าสัมบูรณ์ของ -8 เท่ากับ 8 เนื่องจาก -8 อยู่ห่างจากศูนย์ 8 หน่วย

การบวกจำนวนเต็ม 2 รูปแบบ

สำหรับการบวกจำนวนเต็ม เราจะแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบด้วยกัน คือ

• การบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน (เครื่องหมายเหมือนกัน) : นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน ผลลัพธ์ยังใช้เครื่องหมายเหมือนเดิม เช่น

1.) 7 + 4 = ?

วิธีทำ ค่าสัมบูรณ์ของ 7 หรือ I 7 I = 7

ค่าสัมบูรณ์ของ 4 หรือ I 4 I = 4

จะได้ 7 + 4 = 11

ซึ่งข้อนี้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกเหมือนเดิม ดังนั้น 7 + 4 = 11

2.) -4 + (-1) = ?

วิธีทำ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 หรือ I -4 I = 4

ค่าสัมบูรณ์ของ -1 หรือ I -1 I = 1

จะได้ 4 + 1 = 5

ซึ่งข้อนี้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบเหมือนเดิม ดังนั้น -4 + (-1) = -5

• การบวกจำนวนเต็มต่างชนิดกัน (เครื่องหมายต่างกัน): นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน โดยค่าที่มีมากกว่าเป็นตัวตั้ง ส่วนผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า (ตัวเลขที่มีค่ามากกว่า) เช่น

1. -2 + 1 = ?

วิธีทำ ค่าสัมบูรณ์ของ -2 หรือ I -2 I = 2

ค่าสัมบูรณ์ของ 1  หรือ I 1 I  = 1

จะได้ 2 – 1 = 1

ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า คือ -2 ดังนั้น -2 + 1 = -1

2. 3 + (-6) = ?

วิธีทำ ค่าสัมบูรณ์ของ 3  หรือ I 3 I   = 3

ค่าสัมบูรณ์ของ -6 หรือ I -6 I  = 6

จะได้ 6 – 3 = 3

ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า คือ -6 ดังนั้น 3 + (-6) = -3

การลบจำนวนเต็ม

ถ้าเพื่อน ๆ ต้องการลบจำนวนเต็มก็สามารถใช้หลักการเดียวกับการบวกได้เลย เพียงแต่เปลี่ยนเป็นการบวกด้วยจำนวนตรงข้ามของตัวลบ (เปลี่ยนเครื่องหมาย) ตัวอย่างเช่น

1. 4 – (3) = ?

วิธีทำ 4-(3) เปลี่ยนเป็นการบวกจะได้ 4+(-3)  => เครื่องหมายต่างกัน นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน

ค่าสัมบูรณ์ของ 4  หรือ I 4 I    = 4

ค่าสัมบูรณ์ของ -3 หรือ I -3 I   = 3

จะได้ 4 – 3 = 1

ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า คือ 4 ดังนั้น 4 – (3) = 1

2. – 4 – (-3) = ?

วิธีทำ -4-(-3) เปลี่ยนเป็นการบวกจะได้ -4+(3) => เครื่องหมายต่างกัน นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน

ค่าสัมบูรณ์ของ -4  หรือ I -4 I    = 4

ค่าสัมบูรณ์ของ 3  หรือ I  3 I   = 3

จะได้ 4 – 3 = 1

ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า คือ -4 ดังนั้น – 4 – (-3) = -1

3. -1 – (4) = ?

วิธีทำ -1-(4) เปลี่ยนเป็นการบวกจะได้ -1+(-4) => เครื่องหมายเหมือนกัน นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน

ค่าสัมบูรณ์ของ -1  หรือ I -1 I    = 1

ค่าสัมบูรณ์ของ -4  หรือ I  -4 I  = 4

จะได้ 4 + 1 = 5

ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายเหมือนเดิม คือ จำนวนเต็มลบ ดังนั้น -1 – (4) = -5

ก่อนจากกันเรามีข้อสังเกตเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับการทำโจทย์เรื่องนี้ นั่นก็คือ ถ้ามีวงเล็บแล้วเครื่องหมายนอกวงเล็บเหมือนกันจะกลายเป็นบวก (+) เช่น 4 – ( -1) = 4 + 1 = 5  แต่ถ้าต่างกันจะกลายเป็นลบ (-) เช่น -3 + ( -2 ) = 3 – 2 = 1

สมบัติของจำนวนเต็ม 

สมบัติการสลับที่

เมื่อให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ

สมบัติการสลับที่การบวก :  a + b = b + a

สมบัติการสลับที่การคูณ :   a x b = b x a

จำให้ดี

การลบไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ แต่น้องๆสามารถเปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกได้ และมันจะสามารถสลับที่กันได้ตามสมบัติการบวก

เช่น     12 – 6   =   12 + (-6)

ดังนั้น       12 – 6   =   (-6) + 12

จำให้ดี

การหารไม่มีคุณสมบัติการสลับที่เช่นกัน แต่เราสามารถเปลี่ยนการหารให้อยู่ในรูปการคูณและสลับที่ได้ตามสมบัติการบวก

เช่น   12 ÷ 6   =   12 x ⅙

    =    ⅙ x 12

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เมื่อให้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก 

• (a + b) + c   =    a + (b + c)

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ 

• (a x b) x c   =    a x (b x c)

สมบัติการแจกแจง

เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว

• a x (b + c)   =   (a x b) + (a x c)
• (b + c) x a   =   (b x a) + (c x a)

สมบัติของ 1

ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว

• a x 1 = a = 1 x a

(จำนวนใดก็ตามคูณ 1 จะเท่ากับจำนวนนั้น)

• a ÷ 1 = a
• a ÷ a = 1

(ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0)

สมบัติของ 0

เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว

• a + 0  =  a  =  0 + a

(จำนวนใดๆก็ตามบวกศูนย์จะได้เท่ากับจำนวนนั้น)

• a x 0  =  0  =  0 x a

(จำนวนใดๆก็ตามคูณศูนย์จะได้เท่ากับศูนย์)

• 0 ÷ a  =  0

(ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0)

• a x b = 0 จะได้ a = 0 หรือ b = 0

(ถ้าผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับศูนย์แล้ว จำนวนใดจำนวนหนึ่งในนั้นต้องเป็นศูนย์)