ความน่าจะเป็น (Probability) ม.5

ความน่าจะเป็น ม.5 (Probability)

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะคาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่งผลลัพธ์โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นรายครั้ง ว่า แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์อะไร

แซมเปิลสเปซ (Sample Space)

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

การทดลองสุ่ม (random experiment)  คือ  การทดลองหรือการกระทำใด ๆ ซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1  จงพิจารณาว่าการกระทำต่อไปนี้  เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่  เพราะเหตุใด

1)  การโยนเหรียญ 1  เหรียญ  หนึ่งครั้ง

ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ หนึ่งครั้ง อาจจะออกหัวหรือก้อย แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าจะออกหัวหรือก้อย

2)  การทอดลูกเต๋า 1 ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย

ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย ลูกเต๋าจะหงายหน้าที่มีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าลูกเต๋าจะหงายหน้าที่มีแต้มใด

3)  การเดินทางไปโรงเรียน

ตอบ ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการเดินทางไปโรงเรียน เราไม่สามารถตอบได้เลยว่าผลลัพธ์เป็นอะไรบ้าง

4)  การแข่งขันฟุตบอลในแต่ละนัด

ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการแข่งขันฟุตบอลในแต่ละนัด มีผล แพ้ ชนะ หรือ เสมอ แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าผลการแข่งขันจะเป็นแบบใด

5) การถอนเงินจากธนาคาร

ตอบ ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการถอนเงินจากธนาคาร เราไม่สามารถตอบได้เลยว่าผลลัพธ์เป็นอะไรบ้าง

จากตัวอย่างข้างต้น สรุปได้ว่า

           เราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น จากแต่ละการกระทำจะเป็นอะไร  แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่จะเกิดขึ้นได้ เรียกการกระทำเหล่านี้ว่า  การทดลองสุ่ม

เหตุการณ์ (Event)

คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร

ข้อสังเกตุ: เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็ถือเป็น เหตุการณ์ๆ หนึ่งด้วยครับ

การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปช และเหตุการณ์

การทดลองสุ่ม (random experiment) หมายถึง การทดลองใดๆ ที่ยังไม่สามารถทำนาย
หรือรู้ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น แต่สามารถบอกได้ว่า ผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง
      แซมเปิลสเปซ (sample space) หมายถึง เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดเท่าที่จะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม
      เหตุการณ์ (event) หมายถึง สับเซตใดๆ ของแซมเปิลสเปซ
เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์เพียงผลลัพธ์เดียวเราเรียกว่า เหตุการณ์อย่างง่าย ( simple event )

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ให้ S แทนเซมเปิลสเปซ และ A แทนเหตุการณ์ จะได้ว่า
1. 0 P(A) 1	3. P(A) = 1 ก็ต่อเมื่อ A = S
2. P(A) = 0 ก็ต่อเมื่อ A = f	4. ถ้า A B แล้ว P(A) P(S)

เหตุการณ์อิสระ ( independent events )
นิยาม เหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ จะได้ชื่อว่าเป็นเหตุการณ์อิสระก็ต่อเมื่อ การเกิดหรือไม่เกิดเหตุการณ์หนึ่ง จะไม่มีผลกระทบกระเทือนต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง

เหตุการณ์ไม่อิสระ ( dependent events )
นิยาม เหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ จะได้ชื่อว่าเป็นเหตุการณ์ไม่อิสระ ก็ต่อเมื่อ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งจะไม่คงที่ ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อีกเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นหรือไม่

สูตร ถ้า A และ B จะเป็นเหตุการณ์ไม่อิสระแล้ว			P( A ว B ) = P(A) . P(B/A)
			P( A ว B ) = P(A) . P(A/B)
หมายเหตุ	สัญลักษณ์ P(B/A)	หมายถึง ความน่าจะเป็นของ B หลังจากเกิดเหตุการณ์ A
	สัญลักษณ์ P(A/B)	หมายถึง ความน่าจะเป็นของ A หลังจากเกิดเหตุการณ์ B

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n
โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

โดยที่  n(E)  แทน  จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S)  แทน  จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นได้

P(E)  แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ดังนั้น   P(E)  =  n(E) / N(S)

ข้อควรจำ

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. ถ้า P(E) = 0  เหตุการณ์นั้นๆ จะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
3. ถ้า P(E) = 1  เหตุการณ์นั้นๆ เกิดขึ้นแน่นอน

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

P(E)  = n/N

เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้

E     แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n    แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S   แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
N  แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 1 จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก  1 ครั้ง  จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

1) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11

2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำนวนคู่

3) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1  อย่างน้อยหนึ่งลูก

วิธีทำ  หา S จากการทอดลูกเต๋า 2  ลูก 1 ครั้ง ได้ดังนี้

S  =  { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

n(S)  =  36

1) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11

อธิบายเพิ่มเติม : ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11 หมายความว่า เมื่อนำแต้มของลูกเต๋า 2 ลูกมาบวกกัน แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 11 และมากกว่า 11

ให้ E₁ แทน เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 11

E₁           =    { (5, 6) , (6, 5 ) , ( 6, 6) }

n (E₁)     =    3

P (E₁)     =   n(E) / N(S)  = 3/36 = 1/12

ปริภูมิตัวอย่าง

ปริภูมิตัวอย่าง หรือแซมเปิลสเปซ (S) คือ เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 3  จงเขียนแซมเปิลสเปซ  และหาจำนวนของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้  จากการทดลองสุ่มต่อไปนี้

1)  การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1  เหรียญ  2  ครั้ง

ตอบ  แซมเปิลสเปซที่เป็นไปได้ทั้งหมด ได้แก่ HH, HT, TH, TT

จำนวนของแซมเปิลสเปซหรือผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เท่ากับ  4

2)  สุ่มหยิบลูกปิงปอง 2 ลูกพร้อมกัน จากกล่องใบหนึ่ง ที่มีลูกปิงปอง สีม่วง 1 ลูก, สีส้ม 1 ลูก และสีเขียว 1 ลูก

ตอบ  แซมเปิลสเปซที่เป็นไปได้ทั้งหมด ได้แก่ ม่วงส้ม,  ม่วงเขียว  และส้มเขียว

จำนวนของแซมเปิลสเปซหรือผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เท่ากับ  3

ตัวอย่างที่ 4  มีแป้นวงกลมอยู่หนึ่งแป้นได้จาการแบ่งวงกลม ออกเป็น 10 ส่วน มีหมายเลขกำกับ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ตามลำดับ หมุนแป้น 1 ครั้ง ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้

1. 1. ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เป็นอย่างไร

ตอบ     มี 10 แบบ คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

1. 2. ผลลัพธ์ที่เข็มชี้ในช่องจำนวนคู่ เป็นอย่างไร

ตอบ     มี 5 แบบ คือ 0,2,4,6,8

1. 3. ผลลัพธ์ที่เข็มชี้ในช่องจำนวนคี่ เป็นอย่างไร

ตอบ     มี 5 แบบ คือ 1,3,5,7,9

1. 4. ผลลัพธ์ที่เข็มชี้ในช่องมากกว่า 7 เป็นอย่างไร

ตอบ     มี 2 แบบ คือ 8,9

1. 5. ผลลัพธ์ที่เข็มชี้ในช่องเป็นจำนวนเฉพาะ เป็นอย่างไร

ตอบ     มี 4 แบบ คือ 2,3,5,7