ตรรกศาสตร์ เรื่องสมบัติการสมมูล

ตรรกศาสตร์ เรื่องสมบัติการสมมูล

ประพจน์ที่สมมูล

ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “≡” ค่าความจริงของประพจน์ p→q และ ∼q→∼p จากตารางค่าความจริง

สมบัติการสมมูล

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

p ∧ ( q ∧ r ) ≡  ( p ∧  q ) ∧ r  ≡ p ∧  q ∧ r

p ∨ ( q ∨ r ) ≡  ( p ∨  q ) ∨ r  ≡ p ∨  q ∨ r

p ↔ ( q ↔ r ) ≡  ( p ↔  q ) ↔ r  ≡ p ↔ q ↔ r

• สมบัติการแจกแจง

p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )

p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )

p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )

( p ∨ q ) → r  ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r )

( p ∧ q ) → r  ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r )

• สมบัติการสลับที่

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ↔ q ≡ q ↔ p

• สมบัติของ ถ้า…แล้ว ( → )

p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q

• สมบัติของ ก็ต่อเมื่อ ( ↔ )

p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )

• สมบัติของ นิเสธ ( ~ )

~(~p) ≡ p

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q

• สมบัติอื่น ๆ

p ∧ p ≡ p

p ∧ T ≡ p

p ∧ F ≡ F

p ∧ ~p ≡ F

p ∨ p ≡ p

p ∨ T ≡ T

p ∨ F ≡ p

p ∨ ~p ≡ T

p → F ≡ ~p

F → p ≡ T

p → T ≡ T

T → P ≡ P

P ↔ P ≡ T

P ↔ ∼P ≡ F