สรุปสูตร จำนวนเชิงซ้อน และ เฉลยแนวข้อสอบ คณิตฯ A-level เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ตอนที่ 5 Alevel 66 EP5
#จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน ( COMPLEX NEMBER )
ในหัวข้อ จำนวนเชิงซ้อน นี้จะอธิบายถึงพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อน และกระบวนการต่าง ๆ ที่ใช้สำหรับ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งหัวใจของบทนี้ คือ การเข้าใจหน่วยจินตภาพ ( Imaginary Unit )
ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ ( imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ] ซึ่งกำหนดให้ i2 = −1
ในระบบจำนวนจริง สมการพหุนามบางสมการ เช่น x2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ในบทนี้ทุกสมการได้เสมอ และเรียนจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นใหม่นี้ว่าจำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) ซึ่งนอกจากจะแก้ปัญหาในเรื่องการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ แล้ว ยังสามารถนำไปประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่างๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เช่น วงอิเล็กทรอนิกส์ กลศาสตร์ กลศาสตร์ของไหล ทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เป็นต้น
– การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers )
จากการที่กล่าวข้างต้นว่า สมการพหุนาม X2 + 1 = 0ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้ ดังนั้นจึงจะพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต
บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d)
1. การเท่ากัน
(a , b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวก
(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)
3. การคูณ
(a, b) *(c, d) = (ac-bd , ab + bc)
เราอาจแทน ด้วย (a, b)(c, d) ก็ได้
เซตของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยสัญลักษณ์ C
