การแจกแจงผลการโยนลูกเต๋า

ต่อไปจะพูดถึงที่มาของการแจกแจงแบบนี้ และขยายความไปสู่กรณีทั่วไปมากขึ้นการทดลองสุ่มและเหตุการณ์ : การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปซ และเหตุการณ์

 

1.การทดลองสุ่ม ( Random Experiment )

             คือ การทดลองที่เราไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละการกระทาจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่จะเกิดขึ้นได้ เช่น    โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจออกหัวหรืออกก้อย

          ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจเป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่เราไม่รู้ว่าจะเกิดแต้มอะไรแน่นอน

           การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่อง ซึ่งมี 5 ลูก 5 สี ดังรูป ลูกปิงปองที่หยิบได้อาจจะเป็น ลูกปิงปองสีขาว ฟ้า แดง เขียว หรือส้ม

เมื่อศึกษาหน่วยนี้จบแล้ว

1. นักศึกษาสามารถบอกได้ว่าการทดลองใดเป็นการทดลองสุ่ม

2. เขียนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มที่กำหนดให้ได้

3. เขียนเหตุการณ์ที่สนใจซึ่งเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองต่อไปนี้

                1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย

3. การนำ 2 ไปบวกกับ 3
4. การเล่นเป่ายิ้งฉุบ
5. การนำจำนวนคู่คูณกับจำนวนคี่
6. การหาผลคูณของจำนวน 2 จำนวน 

[สรุปความน่าจะเป็น ม.4]

หลักการบวกและการคูณ

ในการที่เราจะนับจำนวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือ จำนวนวิธีในการทำงานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรง แต่หากสิ่งที่จะนับมีจำนวนมาก อาจจะทำให้การนับโดยตรงนั้นทำได้ยาก จึงมีหลักการนับ เพื่อช่วยให้การนับสิ่งที่มีจำนวนเยอะ ทำได้ง่ายขึ้น 

หลักการบวก 

หลักการคูณ

การเรียงสับเปลี่ยน

หากมีสิ่งของอยู่ n ชิ้นแตกต่างกัน  หากต้องการจะนำสิ่งของ r ชิ้นจากสิ่งของที่มีอยู่
นำมาเรียงลำดับจะได้ว่า

• ขั้นตอนที่ 1 เลือกของชิ้นที่ 1 มาวาง ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี n ชิ้น
• ขั้นตอนที่ 2 เลือกของชิ้นที่ 2 มาวาง โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ 1 มี n-1 ชิ้น
• ขั้นตอนที่ r เลือกของชิ้นที่ r โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ r-1 มี n-r+1 ชิ้น

การจัดหมู่

การเลือกกลุ่มของสิ่งของมา โดยไม่คำนึงถึงลำดับในการเรียงของสิ่งของในกลุ่มที่เลือกมา
หากกลุ่มใดมีสิ่งของในกลุ่มเหมือนกัน จะนับเป็นการจัดหมู่เพียง 1 วิธี 

[สรุปความน่าจะเป็น ม.5]

การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ว่า
ในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น

เช่น การทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง แต้มที่ปรากฏอาจเป็น 1-6 แต่ไม่สามรถบอกได้ว่าจะเป็นเลขใด
เรียกการทอดลูกเต๋าว่า การทดลองสุ่ม และเซตแต้มที่อยู่บนหน้าลูกเต๋าว่า

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น คือ จำนวนที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่สนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด

บทนิยาม

ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด โดยสมาชิกทุกตัวของ S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และให้ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S 

ความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วย P(E)

 1. {หัว,ก้อย}

2. {1,2,3,4,5,6}

3.  5
4. {แพ้,ชนะ}
5. จำนวนคู่
6. ไม่ทราบผลลัพธ์            

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองใดๆที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

ทำให้ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนได้ล่วงหน้า แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ถ้าการทดลองใดๆมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียวเท่านั้น  หรือ ไม่ทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น
เรียกว่า  การทดลองที่ไม่ใช่การทดลองสุ่ม

พิจารณาว่าการทดลองในตัวอย่างที่ 1 ข้อใดเป็นการทดลองสุ่ม

1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร   

    ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร   

    ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าหงายหน้าอะไร ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง

3. การนำ 2 ไปบวกกับ 3 ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะผลลัพธ์เท่ากับ 5 เพียงอย่างเดียวเท่านั้น
4. การเล่นเป่ายิ้งฉุบเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไรได้บ้างแต่ยัง 

    ไม่ทราบว่าจะแพ้หรือชนะ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง
5. การนำจำนวนคู่คูณกับจำนวนคี่ ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะผลลัพธ์จะเป็นจำนวนคู่เสมอ
6. การหาผลคูณของจำนวน 2 จำนวน ไม่เป็นการทดลองสุ่ม เพราะเราไม่รู้ว่า 2 จำนวนนั้นคือ    

    จำนวนใด จึงไม่สามารถหาผลลัพธ์ที่แน่นอนได้

 

ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่าการทดลองต่อไปนี้เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่

                1. การสุ่มหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง

2. การวิ่งแข่ง

เฉลย      ทั้งสองการทดลองเป็นการทดลองสุ่ม

1. การหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าจะได้ไพ่ใด

2. การวิ่งแข่งขัน ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะแต่ละคนมีโอกาสชนะแต่เราไม่ทราบว่าเป็นใคร

ตัวอย่าง   ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง  โดยลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นลูกเต๋าลูกที่หนึ่ง และลูกเต๋าอีกลูกหนึ่งเป็นลูกเต๋าลูกที่สอง และจะใช้คู่อันดับเพื่อแสดงว่าลูกเต๋าลูกที่หนึ่งได้แต้มอะไร และลูกเต๋าลูกที่สองได้แต้มอะไร

เขียนแทนด้วยคู่อันดับได้เป็น

(1, 1),    (1, 2),   (1, 3),   (1, 4),  (1, 5),   (1, 6)

(2, 1),   (2, 2),   (2, 3),   (2, 4),   (2, 5),   (2, 6)

(3, 1),   (3, 2),   (3, 3),   (3, 4),   (3, 5),   (3, 6)

(4, 1),   (4, 2),   (4, 3),   (4, 4),   (4, 5),   (4, 6)

(5, 1),   (5, 2),   (5, 3),   (5, 4),   (5, 5),   (5, 6)

(6, 1),   (6, 2),   (6, 3),   (6, 4),   (6, 5),   (6, 6)

ทฤษฎีบท

ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด และ A,B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ จะได้ว่า

1. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AB)
2. ถ้า A B = แล้ว P(A U B) = P(A) + P(B)
3. P(A’) = 1 – P(A)
4. P(A-B) = P(A) – P(AB)

 แซมเปิลสเปซ (Sample Space)
คือ เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มSample Space ของผลการทอดลูกเต๋า 2 ลูกS = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

เหตุการณ์ (Event) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ ที่เราสนใจ
การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ถ้าเราสนใจในกรณีที่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองมีค่าน้อยกว่า 5 เหตุการณ์ที่สนใจจะเป็นดังนี้A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}

การแจกแจงของตัวแปรเชิงสุ่ม
จากตัวอย่างการทดลองสุ่ม ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน หากสนใจเหตุการณ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า ตัวแปรเชิงสุ่ม X ในที่นี้หมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋า ซึ่งมีค่าที่อาจเป็นไปได้ดังนี้X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12

 ลูก2

ลูก  1
1 2 3 4 5 6
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10
5+6=11
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10
6+5=11
6+6=12