ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือกล่าวไว้ว่า พหุนาม P(x) หารด้วย x-c จะได้เศษ = P(c)
เช่น P(x) หารด้วย x-3 ลงตัว แสดงว่า P(3) = 0 นั่นเอง
หรือ P(x) หารด้วย x-2 เหลือเศษ 3 แสดงว่า P(2) = 3 เป็นต้น
เข้าใจทฤษฎีเศษเหลือกันแล้ว ก็อาจจะงงกันต่อไปว่า แล้วเราจะหารพหุนาม P(x) ได้ยังไง?
วิธีนั้นง่ายๆมากๆ
1. การหารยาว เรียนมากันตั้งนานแล้ว อาจจะลืม วิธีนี้ทำได้ทุกข้อ แต่จะถึกมากๆ ไม่ค่อยแนะนำเท่าไหร่ถ้ามีเวลาจำกัด
2. การหารสังเคราะห์ ใช้สำหรับกำลัง 3 ขึ้นไป ก่อนอื่นเลย เราต้องหาตัวเลข เอามาเป็นตัวหารก่อน เช่น โจทย์บอกว่า P(x) หาร x-c ลงตัว แสดงว่าต้องเอา c มาหารสังเคราะห์ฟังก์ชัน x กำลัง 3 ของเรา
บอกเลยว่าเรื่องนี้ ออกเยอะพอสมควรและไม่ยากมากเกินไป
หลักการที่ควรรู้ ซึ่งผู้เรียนคณิตศาสตร์ควรจำและเข้าใจมีดังนี้
1. ให้ P(x) เป็นพหุนาม ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว แล้ว เศษที่ได้จากการหารเท่ากับ P( c )
2. ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม ax – b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a ไม่เท่ากับ 0 แล้วเศษที่ได้จากการหารจะัเท่ากับ P(b/a)
3. x – c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0
4. ax – b เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x0 ก็ต่อเมื่อ P(b/a) = 0
ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร x^3 – x^2 – 3x + 6 ด้วย x – 2
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 – x^2 – 3x + 6 แล้ว แทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 2^3 – 2^2 – 3(2) + 6 = 4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น 4 #
ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 แล้ว แทน x ด้วย -3 ลงใน P(x) จะได้ P(-3) = (-3)^3 +4((-3) ^2) +5(-3) + 2 = -4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น -4 #
ตัวอย่าง 3 (ข้อสอบ Entrance) กำหนด P(x) = x^5 + a(x^3) – x + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง ถ้า x – 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 และ x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร P(x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. -1
2. 0
3. 1
4. 2
แนวคิด จาก P(x) = x^5 + a(x^3) – x + b
ถ้า x – 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 จะได้ P(1) = -1 และ
x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 จะได้ P(-1) = 1
จะกำหนดสมการได้เป็น
a + b = 1 ……….(1)
-a + b = -1 ……….(2)
แก้ระบบสมการจะได้ a = 0 และ b = -1
ดังนั้น P(x) = x^6 – x – 1
เมื่อหารด้วย x หรือ x-0 ก็แทน x ด้วย 0 ลงไปใน P(x) จะได้ P(0) = -1 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #
ตัวอย่าง 4 (Entrance) กำหนดให้ x + 1 และ x – 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3(x^2) + x^2 – ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x – a – b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15
2. 17
3. 19
4. 21
แนวคิด ให้ P(x) = 3(x^3) + x^2 – ax + b
เนื่องจาก x + 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x + 1 เศษเป็น 0
และ x – 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x – 1 เศษเป็น 0
ดังนั้น P(-1) : 3[(-1)^3] + (-1)^2 – a(-1) + b = 0
a + b = 2 ……….(1)
และ P(1) : 3(1^3) + 1^2 -a(1) + b = 0
-a + b = -4 ……….(2)
แก้ระบบสมการ จะได้ a = 3, b = -1
ดังนั้น P(x) = 3(x^3) + x^2 – 3x -1
จะได้ x – a – b = x – 2
หาเศษโดยแทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 21 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #
