คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1
- กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)
- สถิติ (3)
- กราฟเส้นตรง
- กรณฑ์ที่สอง
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)
ฟังก์ชันกำลังสอง(Quadratic function)
ฟังก์ชันพีชคณิตที่มีตัวแปรต้นกำลังศูนย์หรือหนึ่งนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น นอกเหนือจากนี้จะให้กราฟที่มีลักษณะเป็นเส้นโค้งในที่นี้เราจะศึกษาฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของพหุนามกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a ¹ 0 ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง เรียกว่า พาราโบลา
1) y = 2x2 + 3x – 10 เมื่อ a = 2 , b = 3 และ c = -1
2) y = x2 + 1 เมื่อ a = 1 , b = 0 และ c = 1
3) y = -x2 + 2x + 1 เมื่อ a = -1 , b = 2 และ c = 1
1) กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมื่อ a ¹ 0
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง มีชื่อเรียกว่า พาราโบลา ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมื่อ a ¹ 0 เมื่อ a > 0 และชนิดคว่ำ เมื่อ a < 0
สรุป ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมื่อ a ¹ 0
! เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, 0)
เมื่อ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (0, 0)
! แกนสมมาตรคือ แกน Y หรือเส้นตรง X = 0 ,
สมการแกนสมมาตรคือ X = 0
! เมื่อ a > 0 ค่าต่ำสุดคือ 0 และ เมื่อ a < 0 ค่าสูงสุดคือ 0
! | a | ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ
2) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ¹ 0 และ k ¹ 0
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ¹ 0 และ k ¹ 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด อยู่ที่ (0, k) และแกนสมมาตร
สถิติ (3)
ความหมายของคำต่างๆในหัวข้อสถิติ
1. ข้อมูล (DATA)
คือข้อเท็จจริงในสิ่งที่เราต้องการศึกษา โดยการแบ่งประเภทของข้อมูลมีอยู่ด้วยกันหลายแบบ ขึ้นอยู่กับว่าเราพิจารณาสิ่งใด
แบ่งตามลักษณะของข้อมูล
- ข้อมูลเชิงคุณภาพ
ข้อมูลเชิงคุณภาพคือข้อมูลที่บ่งบอกถึงสมบัติหรือลักษณะ ซึ่งไม่สามารถวัดออกเป็นตัวเลขได้ เช่น เพศ อาชีพ ความชอบ
- ข้อมูลเชิงปริมาณ
ข้อมูลเชิงปริมาณคือข้อมูลที่แสดงถึงปริมาณ โดยสามารถวัดออกมาเป็นตัวเลขได้อย่างชัดเจน เช่น อายุ น้ำหนัก ส่วนสูง
แบ่งตามแหล่งที่มาของข้อมูล
- ข้อมูลปฐมภูมิ
คือ ข้อมูลที่เกิดจากการลงไปหาข้อมูลด้วยตัวเอง เช่น ข้อมูลจากการทำแบบทดสอบ หรือ การทดลองด้วยตัวเอง
- ข้อมูลทุติยภูมิ
คือ ข้อมูลที่นำมาจากแหล่งข้อมูลไม่ได้ลงไปศึกษาด้วยตนเอง เช่น งานวิจัย รายงาน เป็นต้น
2. ประชากร
คือข้อมูลทั้งหมดของกลุ่มข้อมูลที่ต้องสนใจ
3. ตัวอย่าง
คือข้อมูลเพียงบางส่วนของประชากร ที่นำมาศึกษา และสรุปผล
4. ตัวแปร
คือสิ่งที่เป็นลักษณะหรือสมบัติที่เราให้ความสำคัญ ซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามความต้องการที่จะศึกษา
5. พารามิเตอร์
ตัวเลขที่แสดงลักษณะหรือสมบัติของตัวอย่างที่เราสนใจ
การแจกแจงความถี่
คือการนำข้อมูลมาแจกแจงเป็นช่วง ( อันตรภาคชั้น ) โดยมีการเรียงจากข้อมูลที่น้อยไปหาข้อมูลที่มาก และนับจำนวนความถี่ ของข้อมูลแต่ละกลุ่มข้อมูล เหมาะกับข้อมูลดิบที่มีจำนวนไม่มากนัก
ส่วนประกอบของตารางแจกแจงความถี่ที่ควรทราบ
- อันตรภาคชั้น คือ ช่วงของข้อมูลที่แบ่งข้อมูล
- ความถี่ (f) คือ จำนวนของข้อมูลที่อยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น
- ความถี่สะสม (F) คือ ผลรวมของความถี่ในอันตรภาคชั้นรวมกับชั้นที่ตำกว่าทั้งหมด
กราฟเส้นตรง
สมการเส้นตรง
ในบทนี้เราจะพูดถึงลักษณะต่าง ๆ ของสมการเส้นตรง ซึ่งเป็นการนำความรู้เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และเรื่องกราฟจะถูกนำมาใช้ในการหาลักษณะต่าง ๆ ของเส้นตรง ซึ่งความรู้เรื่องเส้นตรงถือเป็นเรื่องที่สำคัญมาก
รูปแบบของสมการเส้นตรง สามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
- สมการในรูป Ax+By+C=0
ความชัน = -A/B
- สมการในรูป y = mx + C
ความชัน = M
สามารถอ่านเนื้อหาเรื่องนี้ได้เพิ่มเติมในบทระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร
สังเกตได้ว่าตัวแปรที่สำคัญมากคือ ความชัน โดยหัวข้อต่อไปเราจึงจะเรียนรู้เกี่ยวกับความชันกัน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3
กราฟเส้นตรง
- ข้อใดไม่ใช้กราฟเส้นตรง
1) 2x – 5 = 4y
2) 2x + 3 y = 1
3) y (2x + 1) = 6
4) 2x = 3y
- ข้อใดเป็นความสัมพันธ์ของกราฟเส้นตรง
1) (1, 0) , (-1, -2), (0, -1)
2) (2, -1) , (3, 0), (4, 1)
3) (-5, 3) , (-6, 4), (-7, 2)
4) (-2, 1) , (-1, 0), (0, -1)
- กราฟข้อใดขนานกับแกน x
1) 5x = 1
2) 2y = 3
3) xy = 7
4) 3y = 2x
กรณฑ์ที่สอง
เราทราบมาแล้วว่า (8)2 = 64 และ (-8)2 = 64 ดังนั้น 8 และ -8 เป็นรากที่สองของ 64 รากที่สองของ 64 เราอาจเขียนโดยใช้เครื่องหมายกรฑ์(√)
บทนิยาม ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ รากที่สองของ a คือจำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ a
สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือรากที่สองที่เป็นบวกและรากที่สองที่เป็นลบ ใช้สัญลักษณ์ √a แทนรากที่สองที่เป็นบวกของ a และ -√a แทนรากที่สองที่เป็นลบของ a
สมบัติของรากที่สองของ a เมื่อ a มากกว่าหรือเท่ากับ 0
1. เมื่อ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์(เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a ≥ 0) รากที่สองของ a คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a
2. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ √a (เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า กรณฑ์ที่สองของ a) และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ -√a
3. เมื่อ a = 0 รากที่สองของ a คือ 0
4. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก (√a)2 = a และ (-√a)2 = a
การดำเนินการของจำนวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง
สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก
√a + √b = √b + √a
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก
(√a + √b) + √c = √a + (√b + √c)
สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ
√a x √b = √b x √a
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ
(√a x √b) x √c = √a x (√b x √c)
สมบัติการแจกแจง
√a x (√b + √c) = (√a x √b) + (√a x √c)
การนำไปใช้
ตัวอย่างนี้จะเป็นการนำความรู้เรื่องกรณฑ์ที่สองไปประยุกต์ใช้งานกัน
ตัวอย่าง มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านประกอบมุมฉากหนึ่งความยาวเป็น 4 หน่วย และอีกด้านตรงข้ามมุมฉากหนึ่งความยาวเป็น 5 หน่วย จงหาความยาวด้านที่เหลือ
วิธีทำ เรารู้แล้วว่าความยาวแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากมีสูตรดังนี้
a2 = b2 + c2
52 = 42 + c2
25 = 16 + c2
25 – 16 = c2
9 = c2
√9 = c
c = 3
ดังนั้น ความยาวของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งมีความยาวเป็น 3 หน่วย
